Question

17、设a₁，a₂，…a_n，是n个任意给定的．求证：一定可以找到紧连在一起的若干个数，使得它们的和能被n整除．

Answer 1

分析：首先构造n个抽屉，被n除后余数可以为0、1、2、3、…（n-1），余数为0的符合题意，如果余数都不为0，则其中有两个余数相同，进一步作差问题得证．

解答：证明：根据题意构造抽屉{a₁}，{a₁+a₂}，{a₁+a₂++a_n}；
若其中某个被n整除，则问题得解；
否则它们被n除得的余数是1，2，，n-1共n-1个抽屉，
而{a₁}，{a₁+a₂}，，{a₁+a₂++a_n}共n个数放入n-1个抽屉，
所以必有2个数在同一抽屉，则设其为a₁+a₂+…+a_i与a₁+a₂+…+a_j，
∴（a₁+a₂++a_i）-（a₁+a₂++a_j）=a_j+1++a_i能被n整除，
∴即可找到紧连在一起的若干个数，其和被n整除．

点评：此题关键是构造出抽屉，利用有余数的除法进行探讨数的整除性问题．