Question

如图，分别以三角形三边为直径向外作三个半圆，如果较小的两个半圆面积之和等于较大的半圆面积．
求证：这个三角形是直角三角形．

Answer 1

分析：先设△ABC的三边长分别为a、b、c，再分别求出以三边为直径的半圆的面积，根据较小的两个半圆面积之和等于较大的半圆面积即可得到关于a、b、c的关系式，再根据勾股定理的逆定理判断出△ABC的形状即可．

解答：证明：设△ABC的三边长分别为a、b、c，则以AC为直径的半圆面积=

πb2

8

，
以BC为直径的半圆面积=

πa2

8

；以AB为直径的半圆面积=

πc2

8

，
∵较小的两个半圆面积之和等于较大的半圆面积，
∴

πb2

8

+

πa2

8

=

πc2

8

，
即a²+b²=c²，
∴此三角形是直角三角形．

点评：本题考查的是勾股定理的逆定理及圆的面积公式，能根据题意得出△ABC的三边关系，再根据勾股定理的逆定理判断出其形状是解答此题的关键．