Question

如图1，已知矩形ABCD的顶点A与点O重合，AD、AB分别在x轴、y轴上，且AD=2，AB=3；抛物线y=-x²+bx+c经过坐标原点O和x轴上另一点E（4，0）
（1）当x取何值时，该抛物线取最大值？该抛物线的最大值是多少？
（2）将矩形ABCD以每秒1个单位长度的速度从图1所示的位置沿x轴的正方向匀速平行移动，同时一动点P也以相同的速度从点A出发向B匀速移动．设它们运动的时间为t秒（0≤t≤3），直线AB与该抛物线的交点为N（如图2所示）．
①当t=时，判断点P是否在直线ME上，并说明理由；
②以P、N、C、D为顶点的多边形面积是否可能为5？若有可能，求出此时N点的坐标；若无可能，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据O、E的坐标即可确定抛物线的解析式，进而求出其顶点坐标，即可得出所求的结论；
（2）①当t=时，OA=AP=，由此可求出P点的坐标，将其代入抛物线的解析式中进行验证即可；
②此题要分成两种情况讨论：
一、PN=0时，即t=0或t=3时，以P、N、C、D为顶点的多边形是△PCD，以CD为底AD长为高即可求出其面积；
二、PN≠0时，即0＜t＜3时，以P、N、C、D为顶点的多边形是梯形PNCD，根据抛物线的解析式可表示出N点的纵坐标，从而得出PN的长，根据梯形的面积公式即可求出此时S、t的函数关系式，令S=5，可得到关于t的方程，若方程有解，根据求得的t值即可确定N点的坐标，若方程无解，则说明以P、N、C、D为顶点的多边形的面积不可能为5．
解答：解：（1）因抛物线y=-x²+bx+c经过坐标原点O（0，0）和点E（4，0），
故可得c=0，b=4，
所以抛物线的解析式为y=-x²+4x（1分），
由y=-x²+4x，y=-（x-2）²+4，
得当x=2时，该抛物线的最大值是4；（2分）

（2）①点P不在直线ME上；
已知M点的坐标为（2，4），E点的坐标为（4，0），
设直线ME的关系式为y=kx+a；
于是得，，
解得：，
所以直线ME的关系式为y=-2x+8；（3分）
由已知条件易得，当t=时，OA=AP=，P（，）（4分）
∵P点的坐标不满足直线ME的关系式y=-2x+8；
∴当t=时，点P不在直线ME上；（5分）
②以P、N、C、D为顶点的多边形面积可能为5
∵点A在x轴的非负半轴上，且N在抛物线上，
∴OA=AP=t；
∴点P、N的坐标分别为（t，t）、（t，-t²+4t）（6分）
∴AN=-t²+4t（0≤t≤3），
∴AN-AP=（-t²+4t）-t=-t²+3t=t（3-t）≥0，
∴PN=-t²+3t（7分）
（ⅰ）当PN=0，即t=0或t=3时，以点P，N，C，D为顶点的多边形是三角形，此三角形的高为AD，
∴S=DC•AD=×3×2=3；
（ⅱ）当PN≠0时，以点P，N，C，D为顶点的多边形是四边形
∵PN∥CD，AD⊥CD，
∴S=（CD+PN）•AD=[3+（-t²+3t）]×2=-t²+3t+3（8分）
当-t²+3t+3=5时，解得t=1、2（9分）
而1、2都在0≤t≤3范围内，故以P、N、C、D为顶点的多边形面积为5
综上所述，当t=1、2时，以点P，N，C，D为顶点的多边形面积为5，
当t=1时，此时N点的坐标（1，3）（10分）
当t=2时，此时N点的坐标（2，4）．（11分）
说明：（ⅱ）中的关系式，当t=0和t=3时也适合，（故在阅卷时没有（ⅰ），只有（ⅱ）也可以，不扣分）
点评：本题是二次函数的综合题型，其中涉及的知识点有抛物线的顶点坐标的求法、图形的面积求法以及二次函数的应用．在求有关动点问题时要注意分析题意分情况讨论结果．