Question

如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AC=3cm，AB=4cm，AD⊥BC于D，与BD等长的线段EF在边BC上沿BC方向以1cm/s的速度向终点C运动（运动前EF与BD重合），过E，F分别作BC的垂线交直角边于P，Q两点，设EF运动的时间为x（s）．
（1）若△BEP的面积为ycm²，求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；
（2）线段EF运动过程中，四边形PEFQ有可能成为矩形吗？若有可能，求出此时x的值；若不可能，说明理由；
（3）x为何值时，以A，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似？

Answer 1

分析：（1）证△BPE∽△ABC，得到比例式

PE

AC

=

BE

AB

，代入求出即可；
（2）根据矩形的性质得出PE=QF，把PE和QF的值代入求出即可；
（3）由（2）求出x，再∠APQ=∠C，证△AQP∽△ABC相似，得出比例式，求出即可；

解答：解：（1）∵PE⊥BC，∠BAC=90°，
∴∠PEB=∠BAC，
∵∠B=∠B，
∴△BPE∽△ABC，
∴

PE

AC

=

BE

AB

即

PE

3

=

x

4

，
∴PE=

3

4

x，
∴y=S_△BEP=

1

2

BE•PE=

1

2

x•

3

4

x=

3

8

 x2，
即y=

3

8

 x2．
在Rt△ABC中，∠BAC=90，AD⊥BC
∵AB=4，AC=3，
∴BC=5，BD=

16

5

，DC=

9

5

，
∵0≤BE≤DC，
∴0≤x≤

9

5

．
答：y关于x的函数解析式是y=

3

8

x²，自变量x的取值范围是0≤x≤

9

5

．

（2）有可能．
当四边形PEFQ是矩形时，有PE=QF，
由已知得PE=

3

4

x，
与求PE类似可求出QF=

4

3

(

9

5

-x)，
∴

3

4

x=

4

3

(

9

5

-x)，
解得x=

144

125

，
∴当x=

144

125

时，四边形PEFQ是矩形．

（3）分2种情形：
当∠APQ=∠B时，△APQ∽△ABC，
且四边形PEFQ是矩形，此时x=

144

125

，
当∠APQ=∠C时，
由三角形面积公式得：

1

2

×AC×AB=

1

2

BC×AD，
AC=3，AB=4，BC=5，
∴AD=

12

5

，
在Rt△ADB中，AB=4，AD=

12

5

，由勾股定理得：BD=

16

5

，
∴EF=BD=

16

5

，
∴CF=5-x-

16

5

=

9

5

-x，
cos∠C=

3

5

=

CF

CQ

，
CQ=

5

3

CF=

5

3

（

9

5

-x）=3-

5

3

x，
∴AQ=3-（3-

5

3

x）=

5

3

x，
∵△AQP∽△ABC，
∴

AP

AC

=

AQ

AB

，
即

4- 5 4 x

3

=

5 3 x

4

，
解得  x=

8

5

，
∴当x=

144

125

或

8

5

时，以A，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似．

点评：本题主要考查对矩形的性质和判定，相似三角形的性质和判定等知识点的理解和掌握，能综合运用性质进行推理和计算是解此题的关键．