Question

【题目】在平面直角坐标系中，规定：抛物线的伴随直线为.例如：抛物线的伴随直线为，即．

（1）在上面规定下，抛物线的顶点为　　　　．伴随直线为　　　　；抛物线与其伴随直线的交点坐标为　　　　和　　　　；

（2）如图，顶点在第一象限的抛物线与其伴随直线相交于点(点在点的右侧)与轴交于点

①若求的值；

②如果点是直线上方抛物线的一个动点，的面积记为，当取得最大值时，求的值．

Answer 1

【答案】（1）(﹣1，﹣4)，y=x﹣3，(0，﹣3)，(﹣1，﹣4)；（2）①m的值为；②m=－2．

【解析】

（1）根据题干中的定义即可找出其伴随直线为y=(x+1)﹣4，即y=x﹣3，再联立抛物线求解即可

（2）①先与其伴随直线联立求得交点，再求出抛物线与x轴的交点C，D，根据∠CAB=90°由勾股定理求出m；

②设直线BC的解析式为y=kx＋b．将B(2，－3m)，C(－1，0)代入求出y=－mx－m．过P作x轴的垂线交BC于点Q，将三角形面积用含m的表达式表示出来即可

（1）由伴随直线的定义可得其伴随直线为y=(x+1)﹣4，即y=x﹣3，

联立抛物线与伴随直线的解析式可得，解得或，∴其交点坐标为(0，﹣3)和(﹣1，﹣4)．

故答案为：(﹣1，﹣4)；y=x﹣3；(0，﹣3)；(﹣1，﹣4)；

（2）①∵抛物线解析式为y=m(x－1)2－4m，∴其伴随直线为y=m(x－1)－4m，即y=mx－5m．

联立抛物线与伴随直线的解析式可得解得或，∴A(1，－4m)，B(2，－3m)．

在y=m(x－1)2－4m中，

令y=0可得x=－1或x=3，∴C(－1，0)，D(3，0)，∴AC2=4＋16m2，AB2=1＋m2，BC2=9＋9m2．

∵∠CAB=90°，∴AC2＋AB2=BC2，即4＋16m2＋1＋m2=9＋9m2，解得：m= (抛物线开口向下，舍去)或m=－，∴当∠CAB=90°时，m的值为－．

②设直线BC的解析式为y=kx＋b．

∵B(2，－3m)，C(－1，0)，∴，解得，∴直线BC的解析式为y=－mx－m．

过P作x轴的垂线交BC于点Q．

∵点P的横坐标为x，∴P(x，m(x－1)2－4m)，Q(x，－mx－m)．

∵P是直线BC上方抛物线上的一个动点，∴PQ=m(x－1)2－4m＋mx＋m=m(x2－x－2)=m[(x－)2－]，∴S△PBC=×[2－(－1)]PQ=m(x－)2－m，∴当x=时，△PBC的面积有最大值－m，∴S取最大时，即－m=，解得：m=－2．