Question

已知：如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB上的点O为圆心，OB的长为半径的圆与AB交于点E，与AC切于点D．
（1）求证：BC=CD；
（2）求证：∠ADE=∠ABD；
（3）设AD=2，AE=1，求⊙O直径的长．

Answer 1

分析：（1）由切线长定理，只需证明CB为⊙O的切线，再由已知的OB与AC切于点D，即可得出证明；
（2）根据已知及等角的余角相等不难求得结论．
（3）易得：△ADE∽△ABD，进而可得

AD

AB

=

AE

AD

；代入数据计算可得BE=3；即⊙O直径的长为3．

解答：（1）证明：∵∠ABC=90°，
∴OB⊥BC．（1分）
∵OB是⊙O的半径，
∴CB为⊙O的切线．（2分）
又∵CD切⊙O于点D，
∴BC=CD．（3分）

（2）证明：∵BE是⊙O的直径，
∴∠BDE=90°．
∴∠ADE+∠CDB=90°．（4分）
又∵∠ABC=90°，
∴∠ABD+∠CBD=90°．（5分）
由（1）得BC=CD，
∴∠CDB=∠CBD．
∴∠ADE=∠ABD．（6分）

（3）解：由（2）得，∠ADE=∠ABD，∠A=∠A，
∴△ADE∽△ABD．（7分）
∴

AD

AB

=

AE

AD

．（8分）
∴

2

1+BE

=

1

2

．
∴BE=3．（9分）
∴所求⊙O的直径长为3．（10分）

点评：此题主要考查圆的切线的判定及圆周角定理的运用和相似三角形的判定和性质的运用．