Question

已知关于x的一元二次方程x²-4x+2（k-1）=0有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）如果抛物线y=x²-4x+2（k-1）与x轴的两个交点的横坐标为整数，求正整数k的值；
（3）直线y=x与（2）中的抛物线在第一象限内的交点为点C，点P是射线OC上的一个动点（点P不与点O、点C重合），过点P作垂直于x轴的直线，交抛物线于点M，点Q在直线PC上，距离点P为个单位长度，设点P的横坐标为t，△PMQ的面积为S，求出S与t之间的函数关系式．

Answer 1

解：（1）由题意得△＞0．∴△=（-4）²-4[2（k-1）]=-8k+24＞0．
∴解得k＜3．

（2）∵k＜3且k为正整数，∴k=1或2．
当k=1时，y=x²-4x，与x轴交于点（0，0）、（4，0），符合题意；
当k=2时，y=x²-4x+2，与x轴的交点不是整数点，故舍去．
综上所述，k=1．

（3）∵
∴点C的坐标是（5，5）．∴OC与x轴的夹角为45°．
过点Q作QN⊥PM于点N，（注：点Q在射线PC上时，结果一样，所以只写一种情况即可）
∴∠NQP=45°，S=PM•NQ．
∵PQ=，∴NQ=1．
∵P（t，t），则M（t，t²-4t），∴PM=|t-（t²-4t）|=|-t²+5t|．
∴S=|-t²+5t|．
∴当0＜t＜5时，S=-t²+t；
当t＞5时，S=t²-t．
分析：（1）若一元二次方程有两个不等的实数根，那么根的判别式必大于0，据此求出k的取值范围．
（2）此题求的是“正整数”k的值，结合（1）的结论很容易得出k的值，代入抛物线的解析式中直接进行验证即可（令y=0，求出x的值，判断x的值是否为整数）．
（3）首先要求出点C的坐标，即可得到∠COx的度数，那么过Q作PM的垂线后，通过构建的直角三角形，结合∠COx的度数可将PQ的长转化为Q到PM的距离；若以PM为底、Q到PM的距离为高，可表示△PMQ的面积，由此得到关于S、t的函数解析式；在求PM的表达式时，要注意P、M的位置．
点评：该题的难度不大，主要涉及：一元二次方程根与系数的关系、函数解析式的确定以及三角形面积的解法等基础知识．（3）题中，PM表达式与t的值有密切的联系，因此在解答时，一定不能漏掉自变量的取值范围．