Question

16．如图，已知?ABCD中，DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，且∠EDF=60°，
（1）求?ABCD各角的大小；
（2）若DE：DF=2：3，?ABCD的周长是100cm．求?ABCD各边的长以及?ABCD的面积．

Answer 1

分析 （1）由?ABCD中，DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，且∠EDF=60°，可求得∠ADE=∠CDF=30°，继而求得答案；
（2）由DE：DF=2：3，?ABCD的周长是100cm．可得AB+BC=50cm，AB：BC=3：2，继而求得?ABCD各边的长，然后求得DE的长，则可求得?ABCD的面积．

解答 解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC，
∵DE⊥AB，DF⊥BC，
∴DE⊥CD，DF⊥AD，
∵∠EDF=60°，
∴∠ADE=∠CDF=90°-∠EDF=30°，
∴∠A=∠C=90°-30°=60°，
∴∠ADC=∠B=180°-60°=120°，
∴?ABCD各角的大小分别为：60°，120°，60°，120°；

（2）∵?ABCD的周长是100cm，
∴AB+BC=50cm，
∵DE：DF=2：3，S_?ABCD=AB•DE=BC•DF，
∴AB：BC=3：2，
∴AB=CD=30cm，AD=BC=20cm；
在Rt△ADE中，DE=AD•sin60°=10$\sqrt{3}$cm，
∴S_?ABCD=AB•DE=300$\sqrt{3}$（cm²）．

点评 此题考查了平行四边形的性质以及直角三角形的性质．注意得到△ADE与△CDF是含30°角的直角三角形是关键．