Question

已知函数f（x）=（k+2）x²+kx+1．
（1）如果f（x）的图象经过点（4，3），求f（x）得图象的顶点的坐标以及与x轴的两交点的横坐标之积；
（2）如果f（x）的图象与x轴只有一个交点，求实数k的值．

Answer 1

解：（1）把点（4，3）代入，得
16（k+2）+4k+1=3，
16k+4k=-30，
k=-1.5．
则函数是f（x）=0.5x²-1.5x+1，
则图象的顶点坐标是（1.5，-），与x轴的两交点的横坐标之积是2；

（2）当k+2=0时，k=-2，函数是一次函数，与x轴只有一个交点；
当k+2≠0时，是二次函数．
∵f（x）的图象与x轴只有一个交点，
∴k²-4（k+2）=0，
∴k=2±2．
分析：（1）把点（4，3）代入求得k值，得到函数解析式，从而写出其顶点坐标和与x轴的两交点的横坐标之积；
（2）f（x）的图象与x轴只有一个交点，即对应的一元二次方程有两个相等的实数根，从而求解．
点评：此题考查了运用待定系数法求函数解析式的方法，同时能够运用公式法求二次函数的图象的顶点坐标；建立函数与方程之间的联系．