Question

如图，已知二次函数y=ax²-bx-c的图象与x轴交于A、B两点，当时x=1，二次函数取得最大值4，且|OA|=-+2，
（1）求二次函数的解析式．
（2）已知点P在二次函数的图象上，且有S_△PAB=8，求点P的坐标．

Answer 1

【答案】分析：（1）由抛物线的顶点坐标设出顶点形式，令y=0表示出x，确定出|OA|的长，由题意列出关于a的方程，求出方程的解得到a的值，即可确定出二次函数解析式；
（2）对于二次函数，令y=0求出x的值，确定出A与B的坐标，求出|AB|的长，根据三角形PAB的面积求出P纵坐标的绝对值为4，求出P纵坐标，代入二次函数求出x的值，确定出P横坐标，即可求出P的坐标．
解答：解：（1）由题意，设二次函数为y=a（x-1）²+4，
令y=0，解得：x=1±，
故A的横坐标为x=1+，即|OA|=-+2=1+，
解得：a=-1，
则二次函数的解析式是
y=-（x-1）²+4，即y=-x²+2x+3；

（2）令y=0，得A、B坐标为（3，0），（-1，0），
则|AB|=4，
设点P的坐标为（x，y），
由题意S_△PAB=8，得|y|=4，
则y=±4，即4=-x²+2x+3或-4=-x²+2x+3，
解得：x=1或x=1±2，
故所求点P的坐标为（1，4），（1+2，-4），（1-2，-4）．
点评：此题考查了待定系数法求二次函数解析式，以及二次函数的性质，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．