Question

如图，已知O是等边三角形△ABC内一点，∠AOB、∠BOC、∠AOC的度数之比为6：5：4，在以OA、OB、OC为边的三角形中，此三边所对的角的度数是________．

Answer 1

36°或60°或84°
分析：求出∠AOB、∠BOC、∠AOC的度数，将△AOC绕点A顺时针旋转60°得到三角形AO'B，连接OD O'，证等边三角形BOO'，推出△BOO'即是以OA，OB，OC为边长构成的三角形即可．
解答：∵∠AOB+∠BOC+∠AOC=360°且∠AOB：∠BOC：∠AOC=6：5：4，
∴∠AOB=144°，∠BOC=120°，∠AOC=96°，
将△AOC绕点A顺时针旋转60°得到三角形AO′B，连接OO′，
∵△AO′B≌△AOC，
∴∠AO′B=∠AOC=96°，O′B=OC，AO′=AO，
∵∠OAO′=60°（将△AOC绕点A顺时针旋转60°得到三角形AO′B），AO=AO′，
∴△AOO′是等边三角形，
∴OO′=AO，
∴△BOO′即是以OA，OB，OC为边长构成的三角形，
∵∠AOO′=∠AO′O=60°，
∴∠BOO′=∠AOB-∠AOO′=144°-60°=84°，
∠BO′O=∠AO′B-∠AO′O=96°-60°=36°，
∠O′BO=180°-84°-36°=60°，
以OA，OB，OC为三边所构成的三角形中，
三边所对的角度分别是60°，36°，84°．
故答案为：36°或60°或84°．
点评：本题主要考查对等边三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定的理解和掌握，能熟练地运用性质进行推理是解此题的关键．