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已知抛物线y=x2-(2m-1)x+4m-6.
(1)试说明对于每一个实数m,抛物线都经过x轴上的一个定点;
(2)设抛物线与x轴的两个交点A(x1,0)和B(x2,0)(x1<x2)分别在原点的两侧,且A、B两点间的距离小于6,求m的取值范围;
(3)抛物线的对称轴与x轴交于点C数学公式,在(2)的条件下,试判断是否存在m的值,使经过点C及抛物线与x轴的一个交点的⊙M与y轴的正半轴相切于点D,且被x轴截得的劣弧与数学公式是等弧?若存在,求出所有满足条件的m的值;若不存在,说明理由.

解:(1)由题意可知:y=(x-2)(x-2m+3),
因此抛物线与x轴的两个交点坐标为:
(2,0)(2m-3,0),
因此无论m取何值,抛物线总与x轴交于(2,0)点;

(2)令y=0,有:x2-(2m-1)x+4m-6=0,则:
x1+x2=2m-1,x1x2=4m-6;
∵AB<6
∴x2-x1<6,
即(x2-x12<36,(x1+x22-4x1x2<36,
即(2m-1)2-4(4m-6)<36,
解得-<x<.①
根据A、B分别在原点两侧可知:x1x2<0,
即4m-6<0,m<.②
综合①②可得-<m<

(3)假设存在这样的m,设圆M与y轴的切点为D,过M作x轴的垂线设垂足为E.
①当C点在x正半轴时,x=>0,
因此<m<
∵弧BC=弧CD,
因此BC=CD.
OC=,CD=BC=OB-OC=2-=,EC=BC=
OE=MD=OC+CE=+=
易知:OD=ME,即OD2=ME2
∴CD2-OC2=CM2-CE2
2-(2=(2-(2
解得m=,符合m的取值范围.
②当C点在x负半轴时,x=<0,
因此-<m<
同①可求得OC=,CD=AC=,CE=,MD=OE=
同理有:CD2-OC2=MC2-CE2
2-(2=(2-(2
化简得:m2=
∴m=±,均不符合m的取值范围,
因此这种情况不成立.
综上所述,存在符合条件的m,且m=
分析:(1)将抛物线的解析式化为交点式,可求得抛物线与x轴的交点其中一个是定值,不随m的变化而变化;
(2)本题可从两个方面考虑:①AB的距离小于6,可用韦达定理求出一个m的取值范围,
②由于A、B分别在原点两侧,因此根据韦达定理有x1x2<0,据此可求出另外一个m的取值范围.综合两种情况即可得出所求的m的取值范围;
(3)本题要先画出图形,分抛物线对称轴在y轴左侧和右侧两种情况进行求解.解题思路一致.假设圆M与y轴的切点为D,过M作x轴的垂线设垂足为E,都是通过在直角三角形ACD和MEB(或MEA)中分别表示出OD和ME的长,根据OD=ME来列等量关系求出t的值.
点评:本题结合圆和一元二次方程的相关知识考查了二次函数的综合应用,难度较大.
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