Question

1．如图，抛物线C₁：y=-$\frac{4}{9}$（x+3）²与x，y轴分别相交于点A，B，将抛物线C₁沿对称轴向上平移，记平移后的抛物线为C₂，抛物线C₂的顶点是D，与y轴交于点C，射线DC与x轴相交于点E，
（1）求A，B点的坐标；
（2）当CE：CD=1：2时，求此时抛物线C₂的顶点坐标；
（3）若四边形ABCD是菱形．
①此时抛物线C₂的解析式；
②点F在抛物线C₂的对称轴上，且点F在第三象限，点M在抛物线C₂上，点P是坐标平面内一点，是否存在以A，F，P，M为顶点的四边形与菱形ABCD相似，并且这个菱形以A为顶点的角是钝角，若存在求出点F的坐标，若不存在请说明理由．

Answer 1

分析 （1）利用坐标轴上点的特点，确定出点A，B的坐标；
（2）根据锐角三角函数的意义，和抛物线的平移，得到比例式，求出即可；
（3）①由点的移动情况判断出抛物线的移动情况；
②设出点的坐标，M（3+3a，4a），表示出F（-3，-5a）．根据点在抛物线上，求出a，从而得到F的坐标．

解答 解：（1）令y=0，
∴y=-$\frac{4}{9}$（x+3）²=0，
∴x=-3，
令x=0，
∴y=4，
∴A（-3，0），B（0，-4）；
（2）由（1）得：OA=3，OB=4，
∴tan∠OBA=$\frac{OA}{OB}$=$\frac{3}{4}$．
由题意得AB∥CD，∠EDA=∠OBA，
∴$\frac{AE}{AD}=\frac{OA}{OB}=\frac{3}{4}$．
∵点C在y轴正半轴时，
由CE：CD=1：2，
∴OE：OA=1：2，
∴AE=4.5，
∴AD=6，
∴D（-3，6）．
（3）①由解析式可得A（-3，0），B（0，-4），
∵ABCD是菱形，
∴AB=BC=AD=DC=5，
即抛物线向上平移5个单位，因此抛物线C₂解析式为$y=-\frac{4}{9}{（{x+3}）^2}+5$；
②I：如图，以AF为边在对称轴左侧作菱形时，延长BA，与抛物线C₂ 交于点G，
∴∠FAG=∠BAD．
当AF=AM时，点M与点G重合，菱形AMPF∽菱形ABCD，
∵tan∠AMP=tan∠OBA=$\frac{3}{4}$
∴设M（-3-3a，4a），F（-3，-5a）．
把M点坐标代入$y=-\frac{4}{9}{（{x+3}）^2}+5$；
可得a₁=$\frac{-1+\sqrt{6}}{2}$，a₂=$\frac{-1-\sqrt{6}}{2}$（舍去），
F（-3，$\frac{5-5\sqrt{6}}{2}$）．
当AF=AP时，
∴设M（-3-3a，-a），F（3，-5a）．
把M点坐标代入为$y=-\frac{4}{9}{（{x+3}）^2}+5$；
可得a₁=-1 （舍去），a₂=$\frac{5}{4}$，
∴F（-3，-$\frac{25}{4}$）．
以AF为边在对称轴右侧作菱形时，点F坐标不变．
II：以AF为对角线作菱形时，
由菱形的对角线性质可知，
在AF右侧作∠FAP=∠FAM，
∴∠PAF=∠GAF=∠BAD，
菱形的轴对称性可得P点也在抛物线C₂ 上．
设M（-3-3a，-a），F（-3，-2a），
把M点坐标代入为$y=-\frac{4}{9}{（{x+3}）^2}+5$；
∴${a_2}=\frac{5}{4}$，
∴F（-3，-$\frac{5}{2}$）．
当点M在AF左侧时，F点坐标不变． 
当点M在AF左侧时，F点坐标不变．
综上所述：F（-3，$\frac{5-5\sqrt{6}}{2}$）或（-3，-$\frac{25}{4}$）或（-3，-$\frac{5}{2}$）．

点评 此题是二次函数综合题，主要考查了抛物线的性质，菱形的性质，锐角三角函数的意义，解本题的关键是锐角三角函数的应用．