Question

已知，如图，D是△ABC中BC边的中点，∠BAD=90°，tanB=

2

3

，AD=2，求：
（1）sin∠DAC；
（2）AC的长及△ABC的面积．

Answer 1

分析：（1）过C点作AB的垂线，交BA的延长线于E，求出AB，求出AE=AB=3，通过解直角三角形求出CE，根据平行线的性质得出∠DAC=∠ECA，根据解直角三角形求出即可；
（2）在Rt△ACE中，根据勾股定理求出AC，根据三角形面积公式求出△ABC的面积即可．

解答：解：（1）过C点作AB的垂线，交BA的延长线于E，
∵∠BAD=90°，tanB=

AD

AB

=

2

3

，AD=2，
∴AB=3，
∵CE⊥AB，
∴∠E=90°，
∵∠DAB=90°，
∴∠E=∠DAB，
∴AD∥CE，
∵D为BC中点，
∴AB=AE=3，
在△BEC中，tanB=

CE

BE

=

2

3

，
∵BE=3+3=6，
∴CE=4，
∴在Rt△AEC中，CE=4，AE=3，由勾股定理得：AC=

32+42

=5；
∵AD∥CE，
∴∠DAC=∠ECA，
∴sin∠DAC=sin∠ECA=

AE

AC

=

3

5

；

（2）S_△ABC=

1

2

×AB×CE
=

1

2

×3×4
=6．

点评：本题考查了解直角三角形，勾股定理，平行线的性质和判定等知识点，关键是正确作辅助线，注意考查学生的推理和计算能力．