Question

正方形ABCD中，点O是对角线DB的中点，点P在DB所在的直线上，PE⊥BC于E，PF⊥DC于F．
（1）如图1，当点P与点O重合时，延长FP交AB于点M，求证：AP=EF；
（2）如图2，当点P在线段DB上（不与点D、O、B重合）时，延长FP交AB于点M，求证：AP=EF；
（3）如图3，当点P在DB的延长线上时，请你猜想AP与EF的数量关系及位置关系，直接写出结论；若不成立，请写出相应的结论．

Answer 1

（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）AP=EF，且AP⊥EF．

试题分析：（1）连接AC，则AC必过O点，延长FO交AB于M，由于O是BD中点，易证得△AOM≌△FOE，则AO=EF．
（2）方法与①类似，延长FP交AB于M，延长AP交BC于N，易证得四边形MBEP是正方形，可证得△APM≌△FEP，则AP=EF．
（3）解题思路和方法同（2）．
试题解析：（1）如图1,

证明：连接AC，则AC必过点O，
∵四边形ABCD是正方形，AC是对角线.
∵OF⊥CD，FOM共线，
∵OM⊥AB，OE⊥BC.
∴∠ABE=∠BEO=∠BMO=90°
∴四边形OEBM是矩形.
∵AC平分∠BCD且OE⊥BC，OF⊥CD，
∴OF= OE
∴矩形OECF是正方形
∴∠MAO=∠OFE=∠AOM=∠OEF=45°，∠AMO=∠EOF=90°，
∴OM=OE=OF=AM
∴△AMO≌△FOE（AAS），
∴AP=EF．
（2）如图2,

∵PM⊥AB，PE⊥BC，∠MBE=90°，且∠MBP=∠EBP=45°，
∴四边形MBEP是正方形，
∴MP=PE，∠AMP=∠FPE=90°；
又∵AB﹣BM=AM，BC﹣BE=EC=PF，
且AB=BC，BM=BE，
∴AM=PF，
∴△AMP≌△FPE（SAS），
∴AP=EF.
（3）AP=EF，且AP⊥EF．