Question

5．如图，在菱形ABCD中，点E是BC的中点，连接DE并延长与AB的延长线交于点F．
（1）求证：△DEC≌△FEB；
（2）若DF⊥BC，求∠F的度数．

Answer 1

分析 （1）根据两角夹边对应相等的两个三角形全等即可判断．
（2）只要证明△ADF是直角三角形，AF=2AD即可．

解答 证明：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴AB∥CD，
∴∠C=∠EBF，
∵点E是BC中点，
∴CE=BE，
在△CDE和△BFE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠C=∠EBF}\\{CE=EB}\\{∠CED=∠EBF}\end{array}\right.$，
∴△DEC≌△FEB．
（2）∵△DEC≌△FEB，
∴CD=BF，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=AB=DC，AD∥CB，
∴AF=2AD，
∵AD⊥BC，AD∥BC
∴AD⊥DF，
∴∠ADF=90°，
∵AF=2AD，
∴∠F=30°．

点评 本题考查菱形的性质、全等三角形的判定和性质、直角三角形中如果斜边等于一条直角边的两倍，那么这条直角边所对的角是30°，解题的关键是熟练应用这些知识解决问题，属于中考常考题型．