Question

7．已知在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为（a，0），点B的坐标为（b，2），点C的坐标为（c，d），其中a、b、c满足方程组$\left\{\begin{array}{l}{a-2b+c=12}\\{2a-b-c=3}\end{array}\right.$
（1）若点C到x轴的距离为6，则d的值为±6；
（2）连接AB，线段AB沿y轴方向平移，线段AB扫过的面积为15，求平移后点B的纵坐标；
（3）连接AB、AC、BC，若△ABC的面积小于等于10，求d的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用点到坐标轴的距离的特点即可得出结论；
（2）先找出a-b=5，进而根据平移的性质，得出AA'=BB'，再用面积公式即可求出点B平移后的坐标；
（3）先得出b=a-5，c=a+2，分两种情况，利用面积的和差表示出三角形ABC的面积，进而建立不等式求解即可．

解答 解：（1）点C的坐标为（c，d）且到x轴的距离为6，
∴|d|=6，
∴d=±6，
故答案为：±6；

（2）如图1，
∵$\left\{\begin{array}{l}{a-2b+c=12①}\\{2a-b-c=3②}\end{array}\right.$
∴①+②得，3a-3b=15，
∴a-b=5，
∴b=a-5；
∴AD=a-b=5，
①+2×②得，3a-3c=-6，
∴a-c=-2，
∴c=a+2
∵B（b，2），
∴BD=2，
设平移后B的对应点B'（b，m），
∴AA'=BB'=|m-2|，B'D=|m|，
∵线段AB扫过的面积为15，
∴15=S_梯形AA'B'D-S_△ABD=$\frac{1}{2}$（AA'+B'D）•AD-$\frac{1}{2}$AD•BD=$\frac{1}{2}$（|m-2|+|m|）×5-$\frac{1}{2}$×5×|m|=$\frac{5}{2}$|m-2|，
∴m=8或m=-4，
∴平移后B点的坐标B'的纵坐标为8或-4；

（3）如图2，
①当点C在直线AB上时，
 过点B作BD⊥x轴于D，过点C作CF⊥x轴交x轴于E，BA的延长线于F；
∴BD∥EF，
∴△ADB∽△AEF，
∴$\frac{BD}{EF}=\frac{AD}{AE}$，
∴EF=$\frac{BD•AE}{AD}$=$\frac{2×2}{5}$=$\frac{4}{5}$，
∴d＞-$\frac{4}{5}$，
∴4+5d＞0，
由（2）知，c-a=2，
∴AE=2，
∴DE=AD+AE=7，BD=2，
∵C（c，d），
∴CE=|d|，
∴S_△ABC=S_梯形BDEC-S_△ABD-S_△ACE
=$\frac{1}{2}$（BD+CE）×DE-$\frac{1}{2}$AD×BD-$\frac{1}{2}$AE×CE
=$\frac{1}{2}$[（2+|d|）×7-5×2-2×|d|]
=$\frac{1}{2}$（14+7|d|-10-2|d|）
=$\frac{1}{2}$（4+5|d|）
=2+$\frac{5}{2}$d，
∵△ABC的面积小于等于10，
∴0＜S_△ABC≤10，
∴0＜2+$\frac{5}{2}$d≤10，
∴-$\frac{4}{5}$＜d≤$\frac{16}{5}$；
②当点C在直线AB下方时，即：d＜-$\frac{4}{5}$，如图3，
过点B作BD⊥x轴于D，过点C作CF⊥x轴交x轴于E，过点B作BF⊥CE于F，
S_△ABC=S_△BCF-S_梯形AEFB-S_△ACE
=$\frac{1}{2}$CE•BF-$\frac{1}{2}$（AE+BF）•BD-$\frac{1}{2}$AE•CE
=$\frac{1}{2}$[CF•BF-（AE+BF）•BD-AE•CE]
=$\frac{1}{2}$[（2-d）×7-（2+7）×2-2（-d）]
=$\frac{1}{2}$（-5d-4）
=-$\frac{5}{2}$d-2
∵△ABC的面积小于等于10，
∴0＜S_△ABC≤10，
∴0＜-$\frac{5}{2}$d-2≤10，
∴-$\frac{24}{5}$≤d＜-$\frac{4}{5}$；
即：d的取值范围为-$\frac{24}{5}$≤d≤$\frac{16}{5}$且d≠-$\frac{4}{5}$．

点评 此题是三角形综合题，主要考查了平移的性质，几何图形面积的计算方法，相似三角形的判定和性质，解本题的关键是得出b=a-5，c=a+2，是一道很好的中考题目．