Question

18．已知二次函数y=（m²-2）x²-4mx+n的图象的对称轴是x=2，且最高点在直线y=$\frac{1}{2}$x+1上，求这个二次函数的表达式．

Answer 1

分析 根据函数的对称轴x=2，此图象顶点的横坐标为2，此点在直线y=$\frac{1}{2}$x+1上，可求得y=（m²-2）x²-4mx+n的图象顶点坐标为（2，2）．从而求得m=-1或m=2，利用最高点在直线上可得a＜0，所以m=-1，n=-2，从而求得二次函数的表达式．

解答 解：∵二次函数的对称轴x=2，此图象顶点的横坐标为2，此点在直线y=$\frac{1}{2}$x+1上．
∴y=$\frac{1}{2}$×2+1=2．
∴y=（m²-2）x²-4mx+n的图象顶点坐标为（2，2）．
∴-$\frac{-4m}{2（{m}^{2}-2）}$=2．
解得m=-1或m=2．
∵最高点在直线上，∴a＜0，
∴m=-1．
∴y=-x²+4x+n顶点为（2，2）．
∴2=-4+8+n．∴n=-2．
则y=-x²+4x-2．

点评 本题主要考查了用待定系数法求二次函数解析式的方法，要掌握对称轴公式和顶点公式的运用和最值与函数之间的关系．