分析 (1)把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG,可使AB与AD重合,再证明△AFG≌△AFE进而得到EF=FG,即可得EF=BE+DF;
(2)∠B+∠D=180°时,EF=BE+DF,与(1)的证法类同;
(3)根据△AEC绕点A顺时针旋转90°得到△ABE′,根据旋转的性质,可知△AEC≌△ABE′得到BE′=EC,AE′=AE,∠C=∠ABE′,∠EAC=∠E′AB,根据Rt△ABC中的,AB=AC得到∠E′BD=90°,所以E′B2+BD2=E′D2,证△AE′D≌△AED,利用DE=DE′得到DE2=BD2+EC2.
解答 解:(1)∵AB=AD,
∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG,可使AB与AD重合.
∴∠BAE=∠DAG,
∵∠BAD=90°,∠EAF=45°,
∴∠BAE+∠DAF=45°,
∴∠EAF=∠FAG,
∵∠ADC=∠B=90°,
∴∠FDG=180°,点F、D、G共线,
在△AFE和△AFG中,
$\left\{\begin{array}{l}{AE=AG}\\{∠EAF=∠GAF}\\{AF=AF}\end{array}\right.$,
∴△AFE≌△AFG(SAS),
∴EF=FG,
即:EF=BE+DF,
故答案为:SAS;△AFG;
(2)∠B+∠D=180°时,EF=BE+DF;
∵AB=AD,
∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG,可使AB与AD重合,
∴∠BAE=∠DAG,
∵∠BAD=90°,∠EAF=45°,
∴∠BAE+∠DAF=45°,
∴∠EAF=∠FAG,
∵∠ADC+∠B=180°,
∴∠FDG=180°,点F、D、G共线,
在△AFE和△AFG中,
$\left\{\begin{array}{l}{AE=AG}\\{∠EAF=∠GAF}\\{AF=AF}\end{array}\right.$,
∴△AFE≌△AFG(SAS),
∴EF=FG,
即:EF=BE+DF;
(3)猜想:DE2=BD2+EC2,
证明:连接DE′,根据△AEC绕点A顺时针旋转90°得到△ABE′,
∴△AEC≌△ABE′,
∴BE′=EC,AE′=AE,
∠C=∠ABE′,∠EAC=∠E′AB,
在Rt△ABC中,
∵AB=AC,
∴∠ABC=∠ACB=45°,
∴∠ABC+∠ABE′=90°,
即∠E′BD=90°,
∴E′B2+BD2=E′D2,
又∵∠DAE=45°,
∴∠BAD+∠EAC=45°,
∴∠E′AB+∠BAD=45°,
即∠E′AD=45°,
在△AE′D和△AED中,
$\left\{\begin{array}{l}{AE′=AE}\\{∠E′AD=∠EAD}\\{AD=AD}\end{array}\right.$,
∴△AE′D≌△AED(SAS),
∴DE=DE′,
∴DE2=BD2+EC2.
点评 本题考查的是全等三角形的判定和性质、旋转变换的性质以及勾股定理及其逆定理的应用,掌握全等三角形的判定定理和性质定理、灵活运用勾股定理的逆定理判断直角三角形是解题的关键.
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A. | 92°、16° | B. | 44°、44° | ||
C. | 92°、16°或44°、44° | D. | 46°、46° |
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