Question

已知抛物线y=

1

2

x²+px+q与x轴相交于不同的两点A（x₁，0）、B（x₂，0）（B在A的右边），又抛物线与y轴相交于C点，且满足

1

x1

+

1

x2

=

5

4

（1）求证：4p+5q=0；
（2）问是否存在一个圆O'，使它经过A、B两点，且与y轴相切于C点？若存在，试确定此时抛物线的解析式及圆心O'的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）由于A、B是抛物线与x轴的两个交点，根据韦达定理即可表示出x₁+x₂以及x₁x₂的表达式，可将已知的x₁、x₂的倒数和变形为x₁+x₂及x₁x₂的形式，然后代值计算，即可证得所求的结论．
（2）假设存在符合条件的⊙O′，那么这个圆必同时经过A、B、C三点，根据切割线定理即可求得q的值，进而可确定抛物线的解析式和A、B、C的坐标．
①当A、B在原点的同一侧时，由于⊙O′同时经过A、B，则圆心O′必在抛物线的对称轴上，由此可确定点O′的横坐标，而⊙O′与y轴相切于C点，那么O′、C的纵坐标相同，即可得到所求的O′坐标；
②当A、B分别位于原点两侧时，此时⊙O′与y轴相交，因此不存在符合条件的O′．

解答：（1）证明：由已知，∵x₁、x₂是一元二次方程

1

2

x²+px+q=0的两个不相等的实数根，
∴

x1+x2=-2p x1•x2=2q

（3分）
又∵

1

x1

+

1

x2

=

5

4

，
即

x1+x2

x1x2

=

5

4

∴

-2p

2q

=

5

4

，
∴4p+5q=0．（4分）

（2）答：存在满足条件的⊙O'．其理由如下：
设⊙O'满足条件，则OC是⊙O'的切线，由切割线定理知OC²=OA•OB=|x₁x₂|．（5分）
又∵抛物线y=

1

2

x²+px+q与y轴交于C点，
∴点C的坐标为（0，q），
∴OC=|q|．
∴q²=|2q|，
即q²=±2q．
解得q₁=0，q₂=2，q₃=-2．（6分）
①当q=0时，x₁•x₂=0不满足题设条件．（7分）
②当q=2时，p=-

5

2

，此时抛物线方程y=

1

2

x²-

5

2

x+2．（8分）
∴点C的坐标为（0，2），抛物线的对称轴为x=

5

2

．（9分）
∵圆心O'在AB的垂直平分线上，O'C⊥y轴，
∴圆心O′的坐标为（

5

2

，2）；（10分）
③当q=-2时，p=

5

2

，
此时抛物线为y=

1

2

x²+

5

2

x-2，
∵x₁•x₂=-4＜0，
∴A、B在y轴的两侧．
故过A、B的圆必与y轴相交，不可能相切，
因此q=-2时也不满足题设条件．
综上所述，满足条件的⊙O′是存在的，它的圆心坐标为O′（

5

2

，2），
此时抛物线的解析式为：y=

1

2

x²-

5

2

x+2．（12分）

点评：此题主要考查了根与系数的关系、切线的性质、切割线定理、二次函数解析式的确定等知识，同时还考查了分类讨论的数学思想，难度偏大．