Question

16．如图，P为正方形ABCD的对角线AC上任意一点，PE⊥AB于E，PF⊥BC于F，若AC=$\sqrt{2}$，则四边形PEBF的周长为（　　）

• A． $\sqrt{2}$
• B． 2$\sqrt{2}$
• C． 2
• D． 1

Answer 1

分析 首先根据正方形的性质和勾股定理可求出AB的长，再由条件可知：四边形PEBF为矩形，三角形AEP和三角形PFC为等腰直角三角形，所以PE+PF+BE+BF=2AB，问题得解．

解答 解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A=90°，AB=BC，
∴AB²+BC²=AC²，
∵AC=$\sqrt{2}$，
∴AB=BC=1，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAC=∠BCA=45°，
∵PE⊥AB于E，PF⊥BC于F，
∴四边形PEBF为矩形，△AEP和△PFC为等腰直角三角形，
∴PF=BE，PE=AE，
∴PE+PF+BE+AE=2AB=2，
即四边形PEBF的周长为2，
故选C．

点评 本题考查了正方形的性质：①正方形的四条边都相等，四个角都是直角； ②正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角以及矩形的判断和矩形的性质，是一道不错的题目，解题的关键是利用勾股定理求出AB的长．