Question

已知：如图Rt△ABC中，∠C=Rt∠，AB=5，BC=4．
（1）求AC的长度．
（2）有一动点P从点C开始沿C→B→A方向以1cm∕s的速度运动，到达点A后停止运动，设运动时间为t秒．求：
①当t为几秒时，AP平分∠CAB．
②当t为几秒时，△ACP是等腰三角形（直接写出答案）．

Answer 1

分析：（1）直接运用勾股定理就可以求出AC的值；
（2）①如图1，当AP平分∠CAB时，作PE⊥AB于E，由勾股定理就可以求出t的值；
②分3种情况如图2，当AC=PC时，可以求出t=4，如图3，当AP=CP时，作PE⊥AC，于点E，由等腰三角形的性质就可以得出E是AC的中点，进而得出P是AB 的中点，就可以求出t=6.5，如图4，当AC=AP时，就可以求出t=6．

解答：解：（1）在Rt△ABC中，由勾股定理，得
AC=

AB2-BC2

=

52-4 2

=3．
答：AC=3；

（2）①作PE⊥AB于E，
∴∠AEP=∠BEP=90°
∵PC⊥AC，
∴∠C=90°，PC=PE．
∴∠C=∠AEP．
∵AP平分∠CAB，
∴∠PAC=∠PAE．
在△ACP和△AEP中，

∠PAC=∠PAE ∠C=∠AEP AP=AP

，
∴△ACP≌△AEP（AAS），
∴AC=AE=3，
∴BE=2．
∵PC=t秒，
∴PE=t秒，PB=（4-t）秒．
在Rt△PEB中，由勾股定理，得
t²+2²=（4-t）²，
解得：t=1.5秒．
②如图2，当AC=PC时，
∴PC=t=4秒；
如图3，当AP=CP时，作PE⊥AC于E，
∴∠AEP=90°，AE=CE．
∵∠ACB=90°，
∴∠AEP=∠ACB，
∴EP∥AB，
∴AP=BP，
∴BP=2.5，
∴t=4+2.5=6.5秒；
如图4，当AP=AC时，
∴AP=3，
∴PB=2，
∴t=4+2=6秒．
∴当t=4秒，6秒或6.5秒时△ACP为等腰三角形．

点评：本题考查了勾股定理的运用，角平分线的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，等腰三角形的性质的运用，解答时运用勾股定理求值是关键．