Question

14．如图，四边形ABDC中，∠ABD=∠BCD=90°，AB=AC，AE⊥BC于点F，交BD于点E．且BD=15，CD=9．点P从点A出发沿射线AE方向运动，过点P作PQ⊥AB于Q，连接FQ，设AP=x，（x＞0）．
（1）说明：△ABE∽△BCD；
（2）说明：BC•BE=AC•CD
（3）求线段AF的长；
（4）是否存在一点P，使△PQF是以PF为腰的等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的x值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由已知证出AE∥CD，得出同位角相等∠AEB=∠D，即可得出△ABE∽△BCD；
（2）由相似三角形的性质得出$\frac{AB}{BE}=\frac{BC}{CD}$，得出BC•BE=AB•CD，再由AB=AC，即可得出结论；
（3）由勾股定理求出BC=12，由等腰三角形的性质得出∠BAE=∠CBD，BF=CF=$\frac{1}{2}$BC=6，证出△ABF∽△BDC，得出对应边成比例即可求出AF的长；
（4）分两种情况：①当0＜x≤8时，由勾股定理求出AB=10，证出△APQ∽△ABF，得出对应边成比例求出PQ=$\frac{3}{5}$x，由PQ=PF得出方程，解方程即可；$\frac{3}{5}$x=8-x，解得：x=5；②当x＞8时，同①得出方程，解方程即可．

解答 （1）证明：∵AE⊥BC，∠ABD=∠BCD=90°，
∴AE∥CD，
∴∠AEB=∠D，
∴△ABE∽△BCD；
（2）证明：∵△ABE∽△BCD，
∴$\frac{AB}{BE}=\frac{BC}{CD}$，
∴BC•BE=AB•CD，
∵AB=AC，
∴BC•BE=AC•CD；
（3）解：∵∠BCD=90°，
∴BC=$\sqrt{B{D}^{2}-C{D}^{2}}$=$\sqrt{1{5}^{2}-{9}^{2}}$=12，
∵∠ABD=90°，AE⊥BC，AB=AC，
∴∠AFB=90°，∠BAE=∠CBD，BF=CF=$\frac{1}{2}$BC=6，
∵∠BCD=∠BAD=90°，
∴△ABF∽△BDC，
∴$\frac{AF}{BF}=\frac{BC}{CD}$，即$\frac{AF}{6}=\frac{12}{9}$，
∴AF=8；
（4）解：存在，x的值为5或20；理由如下：
分两种情况：
①当0＜x≤8时，AB=$\sqrt{A{F}^{2}+B{F}^{2}}$=$\sqrt{{8}^{2}+{6}^{2}}$=10，
∵PQ⊥AB，
∴∠AQP=90°=∠AFB，
又∵，∠PAQ=∠BAF，
∴△APQ∽△ABF，
∴$\frac{AP}{AB}=\frac{PQ}{BF}$，即$\frac{x}{10}=\frac{PQ}{6}$，
∴PQ=$\frac{3}{5}$x，
∵PQ=PF，
∴$\frac{3}{5}$x=8-x，
解得：x=5；
②当x＞8时，
同①得：$\frac{3}{5}$x=x-8，
解得：x=20；
综上所述：存在一点P，使△PQF是以PF为腰的等腰三角形，x的值为5或20．

点评 本题是相似形综合题目，考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理、等腰三角形的性质等知识；本题综合性强，有一定难度，证明三角形相似是解决问题的关键．