Question

17．如图，已知平面直角坐标系内A（2a-1，4），B（-3，3b+1），A、B；两点关于y轴对称
（1）求A、B的坐标；
（2）动点P、Q分别从A点、B点同时出发，沿直线AB向右运动，同向而行，P点的速度是每秒2个单位长度，Q点的速度是每秒4个单位长度，设P、Q的运动时间为t秒，用含t的代数式表示三角形OPQ的面积S，并写出t的取值范围；
（3）在平面直角坐标系中存在一点M，点M的横纵坐标相等，且满足S_△PQM：S_△OPQ=3：2，求出点M的坐标，并求出当S_△AQM=15时，三角形OPQ的面积．

Answer 1

分析 （1）根据A、B两点关于y轴对称可知点A、B的横坐标互为相反数，纵坐标相等，从而解答本题．
（2）根据题意可知分两种情况，一种是P在前，Q在后，此时0＜t＜3，另一种情况QP在前，P在后，此时t＞3，分别求出相应的三角形OPQ的面积S．
（3）根据题意和第（2）文中求得的关系式，可以分别求得点M的坐标，进而求得三角形OPQ的面积．

解答 解：（1）∵A（2a-1，4），B（-3，3b+1），A、B两点关于y轴对称，
∴2a-1=3，3b+1=4．
解得a=2，b=1．
∴点A的坐标为（3，4），点B的坐标为（-3，4）．
（2）∵AP=2t，BQ=4t，AB=6，
∴当0＜t＜3时，PQ=6+2t-4t=6-2t；
当t＞3时，PQ=4t-6-2t=2t-6．
∴当0＜t＜3时，S=$\frac{1}{2}$PQ•4=$\frac{1}{2}$×（6-2t）×4=12-4t；
当t＞3时，S=$\frac{1}{2}PQ•4=\frac{1}{2}×（2t-6）×4=4t-12$．
即$S=\left\{\begin{array}{l}{12-4t（0＜t＜3）}\\{4t-12（t＞3）}\end{array}\right.$．
（3）设点M的坐标为（x，x）．
当0＜t＜3时，
∵S_△PQM：S_△OPQ=3：2，${S}_{△PQM}=\frac{（6-2t）×|4-x|}{2}$=（3-t）×|4-x|，S_△OPQ=12-4t．
∴$\frac{（3-t）|4-x|}{12-4t}=\frac{3}{2}$．
解得，x=-2或x=10
∴点M的坐标为（-2，-2）或（10，10）
当t＞3时，
∵S_△PQM：S_△OPQ=3：2，${S}_{△PQM}=\frac{（2t-6）×|4-x|}{2}$=（t-3）×|4-x|，S_△OPQ=4t-12
∴$\frac{（t-3）×|4-x|}{4t-12}=\frac{3}{2}$
解得，x=-2或x=10．
∴点M的坐标为（-2，-2）或（10，10）．
∵S_△AQM=15，${S}_{△AQM}=\frac{|6-4t|×[4-（-2）]}{2}$（0＜t＜3）或${S}_{△AQM}=\frac{|6-4t|×（10-4）}{2}$（t＞3），
∴t=$\frac{1}{4}$或t=$\frac{11}{4}$．
∴t=$\frac{1}{4}$时，${S}_{△OPQ}=12-4×\frac{1}{4}=11$；
t=$\frac{11}{4}$时，${S}_{△OPQ}=12-4×\frac{11}{4}=1$．
由上可得，点M的坐标为（-2，-2）或（10，10），当S_△AQM=15时，三角形OPQ的面积是11或1．

点评 本题考查坐标与图形的性质、三角形的面积，解题的关键是能根据已知条件，运用分类讨论的数学思想灵活变化得到所求问题需要的条件．