Question

18．当k取什么数值时，下列方程有两个整数解？
（1）（k²-1）x²-6（3k-1）x+72=0；
（2）kx²+（k²-2）x-（k+2）=0．

Answer 1

分析 （1）△=b²-4ac=36（3k-1）²-4×（k²-1）×72=9k²-6k+1-8k²+8=（k-3）²≥0，此时k为任意数，设两个根为x₁，x₂，且均为整数，根据根与系数的关系得到x₁+x₂=$\frac{6（3k-1）}{{k}^{2}-1}$为整数，x₁•x₂=$\frac{72}{{k}^{2}-1}$为整数，得到k²-1只能是±1，±2，±3，±6，且k为整数，于是得到k²-1=-1，3，即可得到结果；
（2）△=（k²-2）+4k（k+2）=k⁴+8k+4，设两个根为x₁，x₂，且均为整数，根据根与系数的关系得到x₁+x₂=$\frac{{k}^{2-2}}{k}$，x₁•x₂=-1-$\frac{2}{k}$，求得k=±2，±1．然后把k=±2，±1分别代入△，当k=-1时，△＜0，于是得到k=1，±2．

解答 解：（1）△=b²-4ac=36（3k-1）²-4×（k²-1）×72=9k²-6k+1-8k²+8=（k-3）²≥0，此时k为任意数，
设两个根为x₁，x₂，且均为整数，
则x₁+x₂=$\frac{6（3k-1）}{{k}^{2}-1}$为整数，x₁•x₂=$\frac{72}{{k}^{2}-1}$为整数，
∴k²-1只能是±1，±2，±3，±6，且k为整数，
∴k²-1=-1，3，
∴k=0，±2；
∴当k=0，±2时，方程（k²-1）x²-6（3k-1）x+72=0有两个整数解；

（2）∵△=（k²-2）+4k（k+2）=k⁴+8k+4，
设两个根为x₁，x₂，且均为整数，
则x₁+x₂=$\frac{{k}^{2-2}}{k}$，x₁•x₂=-1-$\frac{2}{k}$，
∴k=±2，±1．
把k=±2，±1分别代入△，
则当k=-1时，△＜0，
∴k=1，±2．
∴当k=1，±2时，方程kx²+（k²-2）x-（k+2）=0有两个整数解．

点评 本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b²-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义．