Question

如图，AB是半圆的直径，C是半圆弧上一点，CD⊥AB于D，
（1）若tan∠BCD=，AB=10，求CD的长；
（2）若AB=8，BD=2，设两弓形的面积（图中阴影部分）为S₁和S₂，求S₁-S₂．

Answer 1

解：（1）∵∠B+∠CAD=90°，∠B+∠BCD=90°，
∴∠CAD=∠BCD，
∴tan∠CAB=tan∠BCD=，
∴AC=2BC，
∴BC²+（2BC）²=AB²，
∴BC²+（2BC）²=100，
∴BC²=20，
∵BD=CD，
∴BD²+CD²=BC²，
∴（CD）²+CD²=10²，
∴CD=4．
（2）方法一：∵OA=OB，
∴△AOC与△BOC的面积相等，
∴S₁-S₂=×π×4²-×π×4²=π-π=π；
方法二：S₁=×π×4²-×4×2=π-4，
S₂=×π×4²-×4×2=π-4，
∴S₁-S₂=π-π=π．
分析：（1）根据等角的三角函数值相等和勾股定理求出BD的长，再根据勾股定理求出CD的长；
（2）根据扇形的面积公式求出S₁和S₂，再相减即可．
点评：本题考查了扇形面积的计算，根据图形特点，找到公式适用的条件是解题的关键．