Question

【题目】已知，如图甲，在△ABC中，AE平分∠BAC（∠C＞∠B），F为AE上一点，且FD⊥BC于D．

（1）试说明：∠EFD=（∠C﹣∠B）；

（2）当F在AE的延长线上时，如图乙，其余条件不变，（1）中的结论还成立吗？请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）见详解；（2）成立，证明见详解.

【解析】

(1) 根据三角形内角和定理以及角平分线的定义得到∠BAE=∠BAC=（180°﹣∠B﹣∠C）=90°﹣（∠B+∠C），然后根据三角形的外角的性质可以得到∠FEC=∠B+∠BAE，求得∠FEC，再根据直角三角形的两个锐角互余即可求得结论；

(2)根据(1)可以得到∠AEC=90°+（∠B﹣∠C），根据对顶角相等即可求得∠DEF，然后利用直角三角形的两个锐角互余即可求解.

解：（1）∵AE平分∠BAC，

∴∠BAE=∠BAC=（180°﹣∠B﹣∠C）

=90°﹣（∠B+∠C），

∵∠FEC=∠B+∠BAE，

则∠FEC=∠B+90°﹣（∠B+∠C）

=90°+（∠B﹣∠C），

∵FD⊥EC，

∴∠EFD=90°﹣∠FEC，

则∠EFD=90°﹣[90°+（∠B﹣∠C）]

=（∠C﹣∠B）；

（2）成立．

证明：同（1）可证：∠AEC=90°+（∠B﹣∠C），

∴∠DEF=∠AEC=90°+（∠B﹣∠C），

∴∠EFD=90°﹣[90°+（∠B﹣∠C）]

=（∠C﹣∠B）．