Question

如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCO 的面积为15 ，边OA 比OC 大  2 ．E 为BC 的中点，以OE 为直径的圆O′交x 轴于点D ，过点D 作DF⊥AE 于点F ． 
 (1) 求OA，OC的长．
 (2) 求证：DF为圆O' 的切线； 
 (3) 小明在解答本题时，发现△AOE 是等腰三角形，由此，他断定：“直线BC上一定存在除点E 以外的点P ，使△AOP 也是等腰三角形，且点P 一定在圆O' 外”。你同意他的看法吗？请充分说明理由．

Answer 1

解：(1)在矩形OABC中，设OC=x，则OA=x+2，依题意得x(x+2)=15，
解得：（不合题意，舍去），
所以OC=3,OA=5
(2)连接O'D，
如图：在矩形OABC中，OC= AB，∠OCB=∠ABC=90°，CE=BE=．
所以△OCE≌△ABE
所以EO=EA
所以∠1=∠2，
在圆O'中，因为O'O=O'D，
所以∠1=∠3，
所以∠3= ∠2
因为O'D ∥AE ，
又因为DF ⊥AE ，
所以DF ⊥O'D.
又因为点D 在圆O' 上，O'D 为圆O' 的半径，
所以DF 为圆O' 的切线
(3)不同意．理由如下：
①当AO=AP时，以点A为圆心，以AO为半径画弧交BC 于P₁和P₄两点和两点．
过点P₁作
因为，
所以AH=4，
所以OH=1，
求得点；
②当OA=OP时，同上可求得：
因此，在直线BC上，除了点E外，既存在圆O'内的点P₁又存在圆O'外的点它们分别使△AOP为等腰三角形．