Question

【题目】如图1，正方形ABCD的边长为4，点E， F分别在BC， BD上，且BE=1，过三点C， E， F作⊙O交CD于点G.

(1)证明∠EFG =90°.

(2)如图2，连结AF，当点F运动至点A，F， G三点共线时，求的面积.

(3)在点F整个运动过程中，

①当EF， FG， CG中满足某两条线段相等，求所有满足条件的BF的长.

②连接EG，若时，求⊙O的半径(请直接写出答案) .

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）3；（3）①， 2，；②.

【解析】

（1）连结EG，根据∠C=90°可得EG为⊙O的直径，进而可得结论；

（2）过点F作AD的垂线分别交AD，BC于点M，N，设MF=MD=a，求出EN=3-a，然后证明△AMF≌△FNE，得到MF=EN，求出a的值即可；

（3）①分情况讨论：当EF=CG 时；当EF=FG时；当FG=CG时，分别作出图形求出BF即可；②连接EG，过点E作EH⊥BD于点H，过点G作GI⊥BD于I，根据正方形的性质求出BD、BH、HE的长，然后证明△HEF∽△IFG，利用相似三角形的性质求出IF，进而得到HF的长，再利用勾股定理求出EF和EG即可解决问题.

解：（1）连结EG，

∵∠C=90°，

∴EG为⊙O的直径，

∴∠EFG＝90°；

（2）过点F作AD的垂线分别交AD，BC于点M，N，

由（1）得：∠AFE=∠EFG =90°，∠ADF=45°，

∴设 MF=MD=a，则MD=NC=a，

∴EN=4-1-a=3-a，

∵AD=MN，

∴AM=FN，

∵∠NFE+∠AFM=∠AFM+∠MAF，

∴∠NFE=∠MAF，

又∵∠AMF=∠FNE，

∴△AMF≌△FNE，

∴MF=EN，即a=3-a，

∴a=1.5，

∴；

（3）①当EF=CG 时，

易得EF∥CG，

∴∠BEF =∠C=90°，

∴BE=EF=1，

∴BF=；

当EF=FG时，

∵∠EFG=90°，

∴∠ECF=∠EGF=45°，且∠ACE=45°，

∴点A，C，F共线，

∴F为对角线的交点，

∴BF=BD= 2；

当FG=CG时，

则EF=CE，即EF=CE=4-1=3，设FN=x，

由（2）可知AM=BN=x，

∴EN=x-1，

在Rt△ENF中，，即，

解得：，（不符合题意，舍去），

∴，

∴综上所述，所有满足条件的BF长为，2，；

②如图，连接EG，过点E作EH⊥BD于点H，过点G作GI⊥BD于I，

∵正方形ABCD的边长为4，BE=1，

∴BD=，BH=HE=，

∵∠EFG＝∠EHF＝∠GIF＝90°，

∴∠HFE+∠GFI＝90°，∠HFE+∠HEF＝90°，

∴∠GFI＝∠HEF，

∴△HEF∽△IFG，

∴，

∴，ID=IG=2HF，

∴BD=BH+HF+IF+ID=，

∴，

∴，

∴，

∴，

∵EG为直径，

∴⊙O的半径为.