Question

19．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CM为AB边上的中线，AN⊥CM，交BC于点N．若CM=3，AN=4，则tan∠CAN的值为$\frac{2}{3}$．

Answer 1

分析 根据直角三角形的性质得到AB=2CM=6，根据等腰三角形的性质得到∠B=∠MCB，根据余角的性质得到∠MCB=∠CAN，推出△CAN∽△ABC，根据相似三角形的性质得到$\frac{CN}{AC}=\frac{AN}{AB}$=$\frac{4}{6}$=$\frac{2}{3}$，根据三角函数的定义即可得到结论．

解答 解：∵∠ACB=90°，CM为AB边上的中线，
∴AB=2CM=6，
∴∠B=∠MCB，
∵AN⊥CM，
∴∠MCB=∠CAN，
∴∠B=∠CAN，
∴△CAN∽△CBA，
∴$\frac{CN}{AC}=\frac{AN}{AB}$=$\frac{4}{6}$=$\frac{2}{3}$，
∴tan∠CAN=$\frac{CN}{AC}$=$\frac{2}{3}$．
故答案为：$\frac{2}{3}$．

点评 本题考查了直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，证得△CAN∽△ABC是解题的关键．