Question

4．如图，在5×2的正方形网格中，小正方形的边长为1，△ABC与△ADE的顶点都在格点上．
（1）求证：△ADE∽△ABC；
（2）填空：sin∠BAC=$\frac{\sqrt{5}}{5}$．

Answer 1

分析 （1）先利用勾股定理计算出△ABC与△ADE的所有边长，则$\frac{AB}{AD}$=$\frac{DE}{BC}$=$\frac{AC}{AE}$，于是根据相似三角形的判定方法即可得到△ADE∽△ABC；
（2）先根据相似三角形的性质得∠A=∠DAE，然后利用网格特点和正弦的定义求出sin∠DAE=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，从而可得到sin∠BAC的值．

解答 （1）证明：∵AB=$\sqrt{2}$，AC=$\sqrt{{1}^{2}+{3}^{2}}$=$\sqrt{10}$，BC=2，AD=$\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{5}$，DE=$\sqrt{{1}^{2}+{3}^{2}}$=$\sqrt{10}$，AE=5，
∴$\frac{AB}{AD}$=$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{10}}{5}$，$\frac{DE}{BC}$=$\frac{2}{\sqrt{10}}$=$\frac{\sqrt{10}}{5}$，$\frac{AC}{AE}$=$\frac{\sqrt{10}}{5}$，
∴$\frac{AB}{AD}$=$\frac{DE}{BC}$=$\frac{AC}{AE}$，
∴△ADE∽△ABC；
（2）∵△ADE∽△ABC，
∴∠A=∠DAE，
而sin∠DAE=$\frac{1}{\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$．
故答案为$\frac{\sqrt{5}}{5}$．

点评 本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形．本题的关键是利用勾股定理计算出两三角形的边长．