Question

10．在Rt△ABC中，AC=BC，点D为AB中点．∠GDH=90°，∠GDH绕点D旋转，DG、DH分别与边AC、BC交于E，F两点．下列结论：
①AE+BF=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AB，②△DEF始终为等腰直角三角形，
③S_{四边形CEDF}=$\frac{1}{8}$AB²，
④AE²+CE²=2DF²．
其中正确的是（　　）

• A． ①②③④
• B． ①②③
• C． ①④
• D． ②③

Answer 1

分析 连接CD根据等腰直角三角形的性质，就可以得出△ADE≌△CDF，根据全等三角形的性质得出AE=CF，进而得出CE=BF，就有AE+BF=AC，再由勾股定理就可以求出结论．

解答 解：如图所示，连接CD，
∵AC=BC，点D为AB中点，∠ACB=90°，
∴AD=CD=BD=$\frac{1}{2}$AB，∠A=∠B=∠ACD=∠BCD=45°，∠ADC=∠BDC=90°，
∴∠ADE+∠EDC=90°，
∵∠EDC+∠FDC=∠GDH=90°，
∴∠ADE=CDF．
在△ADE和△CDF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠A=∠DCB}\\{AD=CD}\\{∠ADE=∠CDF}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△CDF（ASA），
∴AE=CF，DE=DF，S_△ADE=S_△CDF．
∵AC=BC，
∴AC-AE=BC-CF，
∴CE=BF．
∵AC=AE+CE，
∴AC=AE+BF．
∵AC²+BC²=AB²，AC=BC，
∴AC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AB，
∴AE+BF=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AB，故①正确；
∵DE=DF，∠GDH=90°，
∴△DEF始终为等腰直角三角形，故②正确；
∵S_{四边形CEDF}=S_△EDC+S_△EDF，
∴S_{四边形CEDF}=S_△EDC+S_△ADE=$\frac{1}{2}$S_△ABC，
又∵S_△ABC=$\frac{1}{2}$AC²=$\frac{1}{2}$（$\frac{\sqrt{2}}{2}$AB）²=$\frac{1}{4}$AB²，
∴S_{四边形CEDF}=$\frac{1}{2}$S_△ABC=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{4}$AB²=$\frac{1}{8}$AB²，故③正确；
∵CE²+CF²=EF²，DE²+DF²=EF²，
∴CE²+AE²=EF²=DE²+DF²，
又∵DE=DF，
∴AE²+CE²=2DF²，故④正确；
∴正确的有①②③④．
故选A．

点评 本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理以及三角形的面积公式的运用，根据ASA证明△ADE≌△CDF是解决问题的关键．