Question

9．如图1，在正方形ABCD中，点E为BC上一点，连接DE，把△DEC沿DE折叠得到△DEF，延长EF交AB于G，连接
DG．
（1）求证：∠EDG=45°．
（2）如图2，E为BC的中点，连接BF．①求证：BF∥DE；②若正方形边长为6，求线段AG的长．
（3）当DE=DG时，求BE：CE．

Answer 1

分析 （1）根据正方形的性质可得DC=DA．∠A=∠B=∠C=∠ADC=90°，根据翻折前后两个图形能够完全重合可得∠DFE=∠C，DC=DF，∠1=∠2，再求出∠DFG=∠A，DA=DF，然后利用“HL”证明Rt△DGA和Rt△DGF全等，根据全等三角形对应角相等可得∠3=∠4，然后求出∠2+∠3=45°，从而得解；
（2）①根据折叠的性质和线段中点的定义可得CE=EF=BE，∠DEF=∠DEC，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠5=∠DEC，然后利用同位角相等，两直线平行证明即可；
②设AG=x，表示出GF、BG，根据点E是BC的中点求出BE、EF，从而得到GE的长度，再利用勾股定理列出方程求解即可；
（3）根据等腰三角形三线合一的性质可得F是EG的中点，再利用“HL”证明Rt△ADG和Rt△CDE全等，根据全等三角形对应边相等可得AG=CE，再求出BG=BE，然后根据等腰直角三角形的性质可得BF⊥GE，从而得到BE：EF的值，即为BE：EC．

解答 （1）证明：如图1，

∵四边形ABCD是正方形，
∴DC=DA．∠A=∠B=∠C=∠ADC=90°，
∵△DEC沿DE折叠得到△DEF，
∴∠DFE=∠C，DC=DF，∠1=∠2，
∴∠DFG=∠A=90°，DA=DF，
在Rt△DGA和Rt△DGF中，$\left\{\begin{array}{l}{DG=DG}\\{DA=DF}\end{array}\right.$，
∴Rt△DGA≌Rt△DGF（HL），
∴∠3=∠4，
∴∠EDG=∠3+∠2=$\frac{1}{2}$∠ADF+$\frac{1}{2}$∠FDC，
=$\frac{1}{2}$（∠ADF+∠FDC），
=$\frac{1}{2}$×90°，
=45°；
（2）①证明：如图2，

∵△DEC沿DE折叠得到△DEF，E为BC的中点，
∴CE=EF=BE，∠DEF=∠DEC，
∴∠5=∠6，
∵∠FEC=∠5+∠6
∴∠DEF+∠DEC=∠5+∠6，
∴2∠5=2∠DEC，
即∠5=∠DEC，
∴BF∥DE；
②解：设AG=x，则GF=x，BG=6-x，
∵正方形边长为6，E为BC的中点，
∴CE=EF=BE=$\frac{1}{2}$×6=3，
∴GE=EF+GF=3+x，
在Rt△GBE中，根据勾股定理得：（6-x）²+3²=（3+x）²，
解得x=2，
即，线段AG的长为2；
（3）∵DE=DG，∠DFE=∠C=90°，
∴点F是EG的中点，
在Rt△ADG和Rt△CDE中，
$\left\{\begin{array}{l}{DG=DE}\\{AD=CD}\end{array}\right.$，
∴Rt△ADG≌Rt△CDE（HL），
∴AG=CE，
∴AB-AG=BC-CE，
即BG=BE，
∴△BEG是等腰直角三角形，
∴BF⊥GE，
∴BE：EF=$\sqrt{2}$，
即BE：EC=$\sqrt{2}$，
故答案为：$\sqrt{2}$．

点评 本题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理的应用，翻折变换的性质，熟记各性质是解题的关键．