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    19．在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c经过坐标原点O、点A（2，2）和点B（4，0）三个点，连接OA、OB．得到△OAB，点E在OA边上从点O向点A匀速运动（其中点E不与点A、O重合），同时点F以相同的速度在AB边上从点A向点B运动．
    （1）求出该抛物线的解析式．
    （2）若点C是线段OB的中点，连接CE、EF、FC，如图所示；
    ①在点E运动的过程中，四边形AECF的面积是否会随着点E位置的改变而发生变化？如果变化请说明理由；如果不变，请求出四边形AECF的面积；
    ②在点E运动的过程中，点A到线段EF的距离是否存在最大值？如果存在请求出最大距离；如果不存在，请说明理由．

    分析 （1）把点O、A、B的坐标分别代入二次函数y=ax2+bx+c，列出关于a、b、c的方程组，通过解方程组来求它们的值；
    （2）①四边形CEDF的面积不随点E位置的改变而发生变化．如图，连接AC，通过全等三角形（△OCE≌△ACF）的性质和图中相关图形的面积间的数量关系证得结论；
    ②利用①中全等三角形的对应边、角相等和等腰直角三角形的判定定理得到：△CFE是等腰直角三角形，故EF=$\sqrt{2}$CE，当CE⊥OA时，即CE最小时，EF取最小值为2，S四边形AECF=2为定值，此时点A到线段EF的最大距离为1．

    解答 解：（1）把点O（0，0）、A（2，2）和点B（4，0）代入y=ax2+bx+c，得
    $\left\{\begin{array}{l}c=0\\ 4a+2b+c=2\\ 16a+4b+c=0\end{array}\right.$，
    解得$\left\{\begin{array}{l}a=-\frac{1}{2}\\ b=2\\ c=0\end{array}\right.$，
    ∴抛物线的解析式为$y=-\frac{1}{2}{x^2}+2x$．

    （2）①四边形CEDF的面积不随点E位置的改变而发生变化．
    连接AC，如图所示：∵A（2，2），B（4，0），点C是OB的中点，
    ∴OC=BC=AC=2，
    ∴∠AOC=∠ABO=45°，
    ∴OA=AB，∠OAB=90°，
    ∴∠BAC=∠AOB=45°，
    ∵在△OCE与△ACF中，$\left\{\begin{array}{l}{OC=AC}\\{∠EOC=∠FAC}\\{OE=AF}\end{array}\right.$，
    ∴△OCE≌△ACF（SAS），
    ∴${S_{四边形AECF}}={S_△}_{AEC}+{S_△}_{AFC}={S_△}_{AEC}+{S_△}_{OCE}={S_△}_{AOC}=\frac{1}{2}OC•AC=2$．
    ②∵由①知，△OCE≌△ACF，
    ∴EC=CF，∠ACF=∠ECO．
    ∵∠OCE+∠ECA=90°，
    ∴∠ECA+∠ACF=∠ECF=90°．
    ∴△CFE是等腰直角三角形，
    ∴EF=$\sqrt{2}$CE，当CE⊥OA时，即CE最小时，EF取最小值为2，S四边形AECF=2为定值，此时点A到线段EF的最大距离为1．

    点评 本题考查了二次函数综合题，其中涉及到了待定系数法求二次函数的解析式，全等三角形的判定与性质，多边形的面积的求法以及等腰直角三角形的判定与性质，综合性比较强，难度较大．

    练习册系列答案
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