Question

1．已知一次函数y=kx+$\frac{1}{2}$和反比例函数y=$\frac{1}{x}$的图象都经过点B（-2，-$\frac{1}{2}$）．
（1）求一次函数的表达式；
（2）求这两个函数的图象在第一象限的交点A的坐标；
（3）设点C是点B关于直线y=x的对称点，求sin∠BAC的值．

Answer 1

分析 （1）将点B（-2，-$\frac{1}{2}$）代入y=kx+$\frac{1}{2}$即可得出一次函数的表达式；
（2）将两个解析式联立，组成方程组，求解即可得出点A的坐标；
（3）根据对称求得点C坐标，作AM⊥BC于M，CN⊥AB于N，根据三角形的面积求出CN，再根据三角函数的定义即可得出答案．

解答 解：（1）∵点B（-2，-$\frac{1}{2}$）在y=kx+$\frac{1}{2}$上，
∴-2k+$\frac{1}{2}$=-$\frac{1}{2}$，
∴k=$\frac{1}{2}$，
∴一次函数的表达式为y=$\frac{1}{2}$x+$\frac{1}{2}$；

（2）由$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}}\\{y=\frac{1}{x}}\end{array}\right.$，
整理得x²+x-2=0，
因式分解得（x-1）（x+2）=0，
解得x₁=1，x₂=-2，
所以这两个函数的图象在第一象限的交点A的坐标（1，1）；

（3）∵点C是点B关于直线y=x的对称点，B（-2，-$\frac{1}{2}$），
∴点C坐标是（-$\frac{1}{2}$，-2）．
作AM⊥BC于M，CN⊥AB于N．
∵A（1，1），B（-2，-$\frac{1}{2}$），C（-$\frac{1}{2}$，-2），
∴AB=AC=$\frac{3\sqrt{5}}{2}$，BC=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，
∵AM⊥BC于M，
∴M为BC中点，M（-$\frac{5}{4}$，-$\frac{5}{4}$），
∴AM=$\frac{9\sqrt{2}}{4}$．
∵S_△ABC=$\frac{1}{2}$AB•CN=$\frac{1}{2}$BC•AM，
∴CN=$\frac{BC•AM}{AB}$=$\frac{9\sqrt{5}}{10}$，
∴sin∠BAC=$\frac{CN}{AC}$=$\frac{3}{5}$．

点评 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，方程组的解即为交点坐标．也考查了待定系数法求一次函数的解析式，三角形的面积以及三角函数的定义．