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    方程x+
    x
    1+2
    +
    x
    1+2+3
    +    …+
    x
    1+2+3+…+2009
    =2009的解是x=
     
    ．
    分析：本题将原方程变形，将大部分系数消掉，便可解答．
    解答：解：原方程可化为：x(1+
    1
    1+2
    +
    1
    1+2+3
    +…+
    1
    1+2+3+…+2009
    )    =2009；
    即x(
    2
    1×2
    +
    2
    2×3
    +
    2
    3×4
    +
    2
    4×5
    +…+
    2
    2009×2010
    )=2009    ；
    提取公因式，得2x(1-
    1
    2
    +
    1
    2
    -
    1
    3
    +
    1
    3
    +
    1
    4
    +…+
    1
    2009
    -
    1
    2010
    )=2009    ；
    化简得：2x（1-
    1
    2010
    ）=2009；
    解得：x=1005．
    点评：本题难度极大，需要很强的计算能力和创造性思维能力．要注意寻找规律（
    1
    1+2+3+…+n
    =
    2
    n(n+1)
    ，
    1
    n(n+1)
    =
    1
    n
    -
    1
    n+1
    ）．
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    科目：初中数学 来源： 题型：

    解方程：
    x
    1-x
    +
    3-3x
    x
    -4=0

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    （1）新人教版初中数学教材中我们学习了：若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的两根为x1，x2，则x1+x2=-
    b
    a
    ，x1•x2=
    c
    a
    ．根据这一性质，我们可以求出已知方程关于x1，x2的代数式的值．例如：已知x1，x2为方程x2-2x-1=0的两根，则x1+x2=
     
    ，x1•x2=
     
    ．那么x12+x22=（x1+x2）2-2x1x2=
     
    ．
    请你完成以上的填空．
    （2）阅读材料：已知m2-m-1=0，n2+n-1=0，且mn≠1．求
    mn+1
    n
    的值．
    解：由n2+n-1=0可知n≠0．
    ∴1+
    1
    n
    -
    1
    n2
    =0    ．∴
    1
    n2
    -
    1
    n
    -1=0
    又m2-m-1=0，且mn≠1，即m≠
    1
    n
    ．
    ∴m，
    1
    n
    是方程x2-x-1=0的两根．∴m+
    1
    n
    =1    ．∴
    mn+1
    n
    =1．
    （3）根据阅读材料所提供的方法及（1）的方法完成下题的解答．
    已知2m2-3m-1=0，n2+3n-2=0，且mn≠1．求m2+
    1
    n2
    的值．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    （2012•绍兴）小明和同桌小聪在课后复习时，对课本“目标与评定”中的一道思考题，进行了认真的探索．
    【思考题】如图，一架2.5米长的梯子AB斜靠在竖直的墙AC上，这时B到墙C的距离为0.7米，如果梯子的顶端沿墙下滑0.4米，那么点B将向外移动多少米？
    （1）请你将小明对“思考题”的解答补充完整：
    解：设点B将向外移动x米，即BB1=x，
    则B1C=x+0.7，A1C=AC-AA1=
    		2.52-0.72
    -0.4=2
    而A1B1=2.5，在Rt△A1B1C中，由B1C2+A1C2=A1
    B
    2
    1
    得方程
    （x+0.7）2+22=2.52
    （x+0.7）2+22=2.52
    ，
    解方程得x1=
    0.8
    0.8
    ，x2=
    -2.2（舍去）
    -2.2（舍去）
    ，
    ∴点B将向外移动
    0.8
    0.8
    米．
    （2）解完“思考题”后，小聪提出了如下两个问题：
    【问题一】在“思考题”中，将“下滑0.4米”改为“下滑0.9米”，那么该题的答案会是0.9米吗？为什么？
    【问题二】在“思考题”中，梯子的顶端从A处沿墙AC下滑的距离与点B向外移动的距离，有可能相等吗？为什么？
    请你解答小聪提出的这两个问题．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    关于x的方程
    1+x
    1-x
    =
    a
    b
    （a≠b）的解是（　　）

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