Question

19．已知二次函数y=ax²-3ax+2的图象与x轴交于A、B两点，点A在点B的左侧，与y轴交于点C，且∠ACB=90°，已知O为坐标原点．
（1）求二次函数的解析式；
（2）在线段BC上方的抛物线上是否存在点M，使△BCM的面积最大？如果存在，求出点M的坐标；如果不存在，请说明理由；
（3）在二次函数y═ax²-3ax+2的对称轴上是否存在点P，使△BCP与△ABC相似？如果存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）先求抛物线的对称轴及点C坐标，证明△AOC∽△COB，得出OA•OB=4，由根与系数的关系：x₁•x₂
=$\frac{c}{a}$列式求出a的值，写出二次函数的解析式；
（2）过M作x轴的垂线，将△BCM分成了两个同底边的三角形，设点M的坐标为（a，-$\frac{1}{2}$a²+$\frac{3}{2}$a+2），则N（a，0），表示出DM的长，利用面积公式代入求出△BCM的面积=△DCM的面积+△BDM的面积，得出一个二次函数，求最值即可；
（3）分四种情况进行讨论：因为△ACB是直角三角形，且两直角边的比为1：2，所以使△BCP与△ABC相似时，△BCP必有一个角是直角，当∠BPC为直角时，可利用直角所对的圆周角是直角画辅助圆构建直角△BCP，即图3和图4；因此当三个顶点分别是直角时，列式进行计算，发现只有一种情况成立，从而得出结论．

解答 解：（1）对称轴x=$\frac{3a}{2a}$=$\frac{3}{2}$，
把x=0代入y=ax²-3ax+2，得y=2，
∴点C的坐标为（0，2），
∵当a＞0时，抛物线与x轴交点均在x轴的正半轴，
∴△BAC为钝角三角形，
∴a＞0不成立，
当a＜0时，如图1所示，
∵∠ACO+∠OCB=90°，∠CAO+∠ACO=90°，
∴∠CAO=∠BCO，
又∵∠AOC=∠BOC=90°，
∴△AOC∽△COB，
∴$\frac{AO}{OC}=\frac{OC}{OB}$，
∴OC²=OA•OB，
∵点C的坐标为（0，2），
∴OC=2，
∴OA•OB=4，
∴$\frac{2}{a}$=-4，
解得：a=-$\frac{1}{2}$，
∴抛物线的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x+2；
（2）存在，
如图2所示：过点M作MN⊥AB，垂足为N，MN交BC与点D，
∵令y=0得：-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x+2=0，解得：x=-1或x=4，
∴点B（4，0），
∴OB=4，
∴tan∠CBO=$\frac{1}{2}$，
设点M的坐标为（a，-$\frac{1}{2}$a²+$\frac{3}{2}$a+2），则N（a，0），
∴BN=4-a，
∴DN=$\frac{1}{2}$NB=2-$\frac{1}{2}$a，
∴DM=-$\frac{1}{2}$a²+$\frac{3}{2}$a+2-2+$\frac{1}{2}$a=-$\frac{1}{2}$a²+2a，
∴△BCM的面积=$\frac{1}{2}$×4×（-$\frac{1}{2}$a²+2a）=-a²+4a=-（a-2）²+4，
∴当a=2时，△BCM的面积有最大，
∴M的坐标为（2，3）；
（3）设点P的坐标为（$\frac{3}{2}$，a）．
分四种情况讨论：
①当△PCB∽△CAB时，如图3，∠ACB=∠BPC=90°，
∴∠ABC=∠CBP，
∵BC=BC，∠COB=∠CPB，
∴△COB≌△CPB，
∴PB=OB=4，
∵BQ=4-$\frac{3}{2}$=$\frac{5}{2}$，
由勾股定理得：PQ=$\sqrt{{4}^{2}-（\frac{5}{2}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{39}}{2}$，
∴P（$\frac{3}{2}$，$\frac{\sqrt{39}}{2}$），
②当∠BPC=90°，点P在线段BC的下方时，如图4，
分别过P、B向y轴、x轴作垂线FG、BG，
则△CFP∽△PGB，
∵△BCP与与△ABC相似，
∴$\frac{FC}{PG}=\frac{FP}{BG}$=2或$\frac{1}{2}$，
即$\frac{2-a}{\frac{5}{2}}$=$\frac{\frac{3}{2}}{-a}$=2或$\frac{1}{2}$，
此方程无解；
③如图5，延长AC交对称轴于点P，则∠PCB=90°，
根据对称性可知：PN是AB的垂直平分线，
∴PA=PB，
∴∠CAB=∠ABP，
∴∠CAB≠∠CBP，
∵tan∠CAB=$\frac{CO}{AO}$=2，
∴∠CAB≠60°，
∴∠CAB≠∠CPB，
∴此种情况△BCP与与△ABC不相似；
④如图6，当∠CBP=90°时，
∵∠CBO=∠OBP=90°，∠OCB+∠CBO=90°，
∴∠OBP=∠OCB，
∵∠COB=∠PNB=90°，
∴△COB∽△BNP，
∴$\frac{CO}{BN}=\frac{BC}{PB}$，
∴$\frac{2}{\frac{5}{2}}$=$\frac{BC}{PB}$，
∴$\frac{BC}{PB}$=$\frac{4}{5}$，
∵$\frac{AC}{BC}$=$\frac{1}{2}$，
∴△BCP与△ABC不相似，
综上所述，当P（$\frac{3}{2}$，$\frac{\sqrt{39}}{2}$）时，△BCP与与△ABC相似．

点评 本题是二次函数的综合题，考查出了二次函数的性质和利用待定系数法求二次函数的解析式；当二次项系数和一次项系数有一个相同的字母系数时，根据公式可以求出对称轴；另外，本题求三角形面积的最值问题，想办法转化为二次函数问题，利用顶点坐标来求；对于两个三角形相似，对应边不确定的情况下，要分情况进行讨论．