【题目】在△ABC中,∠A=90°,AB=4,AC=3,M是AB上的动点(不与A,B重合),过M点作MN∥BC交AC于点N.以MN为直径作⊙O,并在⊙O内作内接矩形AMPN.令AM=x.
(1)用含x的代数式表示△MNP的面积S;
(2)当x为何值时,⊙O与直线BC相切?
(3)在动点M的运动过程中,记△MNP与梯形BCNM重合的面积为y,试求y关于x的函数表达式,并求x为何值时,y的值最大,最大值是多少?
【答案】解:(1)∵MN∥BC,∴∠AMN=∠B,∠ANM=∠C.
∴△AMN ∽△ABC.
∴,即.
∴AN=x.
∴=.(0<<4)
(2)如图2,设直线BC与⊙O相切于点D,连结AO,OD,则AO="OD" =MN.
在Rt△ABC中,BC ==5.
由(1)知 △AMN ∽△ABC.
∴,即.
∴,
∴.
过M点作MQ⊥BC于Q,则.
在Rt△BMQ与Rt△BCA中,∠B是公共角,
∴△BMQ∽△BCA.
∴.
∴,
.
∴x=.
∴ 当x=时,⊙O与直线BC相切.
(3)随点M的运动,当P点落在直线BC上时,连结AP,则O点为AP的中点.
∵MN∥BC,∴∠AMN=∠B,∠AOM=∠APC.
∴△AMO ∽△ABP.
∴. AM=MB=2.
故以下分两种情况讨论:
① 当0<≤2时,.
② 当2<<4时,设PM,PN分别交BC于E,F.
∵ 四边形AMPN是矩形,
∴PN∥AM,PN=AM=x.
又∵ MN∥BC,
∴ 四边形MBFN是平行四边形.
∴ FN=BM=4-x.
∴.
又△PEF ∽△ACB.
∴.
∴.
=.
【解析】
解:(1)∵MN∥BC, ∴△AMN∽△ABC.
∴, 即.
∴ AN=x.
∴.……………………………… 2分
(2)如图2,作OD⊥BC于点D,当OD =MN时,⊙O与直线BC相切.
在Rt△ABC中,BC ==10.
由(1)知 △AMN ∽△ABC.
∴,即.
∴ MN=.
过M点作ME⊥BC 于点E,
∵sinB=,∴.
∴.
∴,解得.
∴当时,⊙O与直线BC相切. ………………… 4分
(3)随点M的运动,当P点落在直线BC上时,如图3,连结AP,则O点为AP的中点.
∵ MN∥BC,
∴,即 AM=MB=4.
故分以下两种情况讨论:
①当0<≤4时,.
∴ 当=4时,.……………… 5分
②当4<<8时,如图4,设PM、PN分别交BC于E、F.
∵ 四边形AMPN是矩形, ∴ PN∥AM,PN=AM=x.
又∵ MN∥BC, ∴ 四边形MBFN是平行四边形.
∴ FN=BM=8-x.
∴PF="PN–FN" =" x" -(8 - x) =" 2x" -8.
又△PEF∽△ACB,∴.
∴.
∴= .
∵ 二次项系数,且当时,满足4<<8,
∴.…………………………………………………………………………… 6分
综上所述,当时,值最大,最大值是8. …………………… 7分
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【题目】如图,在宽20米,长32米的矩形耕地上,修筑同样宽的三条路(两条纵向,一条横向,并且横向与纵向互相垂直),把这块耕地分成大小相等的六块试验田,要使试验田的面积是570平方米,问道路应该多宽?
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【题目】如图,四边形ABCD中,∠ABC=∠BCD=90°,点E在BC边上,∠AED=90°
(1)求证:∠BAE=∠CED;(2)若AB+CD=DE,求证:AE+BE=CE
(3)在(2)的条件下,若△CDE与△ABE的面积的差为18,CD=6,求BE的长.
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【题目】某通讯公司就上宽带网推出A,B,C三种月收费方式.这三种收费方式每月所需的费用y(元与上网时间x(h)的函数关系如图所示,则下列判断错误的是
A. 每月上网时间不足25h时,选择A方式最省钱 B. 每月上网费用为60元时,B方式可上网的时间比A方式多
C. 每月上网时间为35h时,选择B方式最省钱 D. 每月上网时间超过70h时,选择C方式最省钱
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【题目】某中学库存若干套桌椅,准备修理后支援贫困山区学校。现有甲、乙两木工组,甲每天修理桌椅16套,乙每天修桌椅比甲多8套,甲单独修完这些桌椅比乙单独修完多用20天,学校每天付甲组80元修理费,付乙组120元修理费。
(1)该中学库存多少套桌椅?
(2)在修理过程中,学校要派一名工人进行质量监督,学校负担他每天10元生活补助费,现有三种修理方案:a、由甲单独修理;b、由乙单独修理;c、甲、乙合作同时修理。你认为哪种方案省时又省钱?为什么?
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【题目】窗户的形状如图所示(图中长度单位:cm),其中上部是半圆形,下部是边长相同的四个小正方形. 已知下部小正方形的边长是acm.
(1)计算窗户的面积(计算结果保留π).
(2)计算窗户的外框的总长(计算结果保留π).
(3)安装一种普通合金材料的窗户单价是175元/平方米,当a=50cm时,请你帮助计算这个窗户安装这种材料的费用(π≈3.14,窗户面积精确到0.1).
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【题目】如图,将矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠,点C落在点E处,BE与AD相交于点F,∠EDF=38°,则∠DBE的度数是( )
A. 25° B. 26° C. 27° D. 38°
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【题目】如图,△ABC中,AB=AC=5,BC=6,AD是BC边上的中线且AD=4,F是AD上的动点,E是AC边上的动点,则CF+EF的最小值为_____.
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