Question

1．（1）如图①，MA₁∥NA₂，则∠A₁+∠A₂=180°；
如图②，MA₁∥NA₃，则∠A₁+∠A₂+∠A₃=360°，请你说明理由；
（2）如图③，MA₁∥NA₄，则∠A₁+∠A₂+∠A₃+∠A₄=540°；
（3）利用上述结论解决问题：如图④，AB∥CD，∠ABE和∠CDE的平分线相交于点F，∠E=140°，求∠BFD的度数．

Answer 1

分析 （1）根据两直线平行，同旁内角互补即可得到结论；
（2）过A₂作PA₂∥MA₁，过A₃作QA₃∥MA₁，根据两直线平行，同旁内角互补即可得到∠A₁+∠A₂+∠A₃+∠A₄=540°；
（3）过F作FG∥AB，则AB∥CD∥FG，根据（1）中的结论以及角平分线的定义，即可得到∠BFD=$\frac{1}{2}$（∠ABE+∠CDE）=110°．

解答 解：（1）如图①，根据MA₁∥NA₂，可得∠A₁+∠A₂=180°，
如图②，过A₂作PA₂∥MA₁，

∵MA₁∥NA₃，
∴PA₂∥MA₁∥NA₃，
∴∠A₁+∠A₁A₂P=180°，∠A₃+∠A₃A₂P=180°，
∴∠A₁+∠A₁A₂A₃+∠A₃=360°；
故答案为：180°，360°；

（2）如图③，过A₂作PA₂∥MA₁，过A₃作QA₃∥MA₁，

∵MA₁∥NA₃，
∴QA₃∥PA₂∥MA₁∥NA₃，
∴∠A₁+∠A₁A₂P=180°，∠QA₃A₂+∠A₃A₂P=180°，∠A₄+∠A₄A₃Q=180°，
∴∠A₁+∠A₂+∠A₃+∠A₄=540°；
故答案为：540°；

（3）如图④，过F作FG∥AB，则AB∥CD∥FG，

∴∠BFG=∠ABF，∠GFD=∠CDF，
∵∠ABE和∠CDE的平分线相交于点F，
∴∠BFD=$\frac{1}{2}$（∠ABE+∠CDE），
又∵∠ABE+∠E+∠CDE=360°，∠E=140°，
∴∠ABE+∠CDE=220°，
∴∠BFD=110°．

点评 本题主要考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，同旁内角互补．解决问题的关键是作平行线，构造同旁内角．