Question

如图1，点P是线段MN的中点．
（1）请你利用该图1画一对以点P为对称中心的全等三角形；
（2）请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：
①如图2，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB＞AC，点D是BC边中点，过D作射线交AB于E，交CA延长线于F，请猜想∠F等于多少度时，BE=CF（直接写出结果，不必证明）；
②如图3，在△ABC中，如果∠BAC不是直角，而（1）中的其他条件不变，若BE=CF的结论仍然成立，请写出△AEF必须满足的条件，并加以证明．

Answer 1

分析：（1）以P点为中心，依次做两条相互交叉但长度相等的线段，可得两个全等三角形；
（2）当BE=CF时，∠F的结论成立；第2小题需要用到辅助线的帮助．延长FD到点G，使得FD=GD，连接BG，证明△DCF≌△DBG后推出∠F=∠G，CF=BG，从而证明BE=CF．

解答：解：（1）如图：画图正确（2分）

（2）①∠F=45°时，BE=CF．（2分）
②答：若BE=CF的结论仍然成立，
则AE=AF，△AEF是等腰三角形．（1分）
证明：延长FD到点G，使得FD=GD，连接BG．
∵点D是BC边中点，
∴DC=DB
在△DCF和△DBG中

DC=DB ∠CDF=∠BDG DF=DG

∴△DCF≌△DBG．（2分）
∴∠F=∠G，CF=BG（1分）
当△AEF是等腰三角形，AE=AF时，
∠F=∠2，
∵∠1=∠2，
∴∠1=∠G．
∴BE=BG．
∴BE=CF．（2分）

点评：本题涉及全等三角形，等腰梯形的相关性质和判定，并考查学生的作图能力，为综合题型，难度中上．