Question

17．观察下列关于自然数的等式：
4×3²-4×1²=32   ①
4×5²-4×3²=64   ②
4×7²-4×5²=96   ③
…
根据上述规律解决下列问题：
（1）完成第四个等式：4×9²-4×7²=128；
（2）写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并验证其正确性．

Answer 1

分析 （1）分解给定等式，发现“3=2×1+1，1=2×1-1，5=2×2+1，3=2×2-1，7=2×3+1，5=2×3-1”，从而得出第四个得数中该为“2×4+1=9，2×4-1=7”，在第三个等式中用9替换7，用7替换5即可得出结论；
（2）结合（1）故猜想4（2n+1）²-4（2n-1）²=32n，利用完全平方公式的展开式结合整式的加减运算法则即可证出结论成立．

解答 解：（1）观察等式4×3²-4×1²=32①，4×5²-4×3²=64②，4×7²-4×5²=96③，
发现3=2×1+1，1=2×1-1，5=2×2+1，3=2×2-1，7=2×3+1，5=2×3-1，
则第四个等式为：4×（2×4+1）²-4×（2×4-1）²=32×4，即4×9²-4×7²=128．
故答案为：4×9²-4×7²=128．
（2）结合（1）猜想第n个等式为：4（2n+1）²-4（2n-1）²=32n，
证明：左边=4（2n+1）²-4（2n-1）²，
=4×[4n²+4n+1-（4n²-4n+1）]，
=4×8n，
=32n=右边．
故猜想成立．

点评 本题考查了规律型中的数字的变化、完全平方公式以及整式的运算，解题的关键是发现规律“4（2n+1）²-4（2n-1）²=32n”．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据给定等式变化找出变化规律是关键．