如图.矩形ABCD的边AB=4.BC=3．一简易量角器放置在矩形ABCD内.其零度线即半圆O的直径与边AB重合.点A处是0刻度.点B处是180刻度．P点是量角器的半圆弧上一动点.过P点的切线与边BC.CD分别交于点E.F．设点P的刻度数为n.∠PAB=α．(1)当n=136时.α= .求出α与n的关系式,(2)在P点的运动过程中.线段EB与EP有怎样的数量� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

如图，矩形ABCD的边AB=4，BC=3．一简易量角器放置在矩形ABCD内，其零度线即半圆O的直径与边AB重合，点A处是0刻度，点B处是180刻度．P点是量角器的半圆弧上一动点，过P点的切线与边BC、CD（或其延长线）分别交于点E、F．设点P的刻度数为n，∠PAB=α．
（1）当n=136时，α=

，求出α与n的关系式；
（2）在P点的运动过程中，线段EB与EP有怎样的数量关系，请予证明；
（3）在P点的运动过程中，F点在直线CD上的位置随着α的变化而变化，当F点在线段CD上时、在CD的延长线上时、在DC的延长线上时，对应的α值分别是多少？（参考数据：tan56.3°≈1.5）
（4）连接BP，在P点的运动过程中，是否存在△ABP与△CEF相似的情况？若存在，求出此时n的值以及相应的EF的长；若不存在，请说明理由．

考点：圆的综合题,等腰三角形的性质,等边三角形的判定与性质,含30度角的直角三角形,矩形的性质,圆周角定理,切线长定理,相似三角形的性质,锐角三角函数的定义

专题：压轴题

分析：（1）由∠AOP=136°可求出∠POB，进而求出∠PAB，用同样的方法就可求出α与n的关系．
（2）运用切线长定理即可解决问题．
（3）先考虑各种临界位置下α的值，就能得出点F分别在线段CD上、CD的延长线上、DC的延长线上时对应α的取值范围．
（4）分点E在线段BC上和点E在线段BC的延长线上两种情况进行讨论，利用等边三角形和直角三角形的有关性质即可解决问题．

解答：解：（1）连接OP，如图1，

由题可知：∠AOP=136°．
∴∠POB=44°．
∴∠PAB=22°．
∵∠AOP=n°，
∴∠POB=180°-n°．
∴∠PAB=α=

∠POB=

（180°-n°）=90°-

n°．
故答案为：22°，
α与n的关系式α=90°-

n°．

（2）EB=EP．
理由如下：
如图1，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°．

∴EB与半圆O相切．
又∵EP与半圆O相切，
∴由切线长定理得：EB=EP．

（3）①如图2，此时点F与点D重合，连接DO．
由切线长定理得：DP=DA=3，∠ADO=∠PDO．
∴DO⊥AP．
∴∠DAP=90°-∠ADO=∠DOA．
∵∠DAO=90°，AD=3，A0=2，

∴tan∠DOA=

=1.5．
∵tan56.3°≈1.5，
∴∠DOA=56.3°．
∴∠DAP=∠DOA=56.3°．
∴α=90°-56.3°=33.7°．
②如图3，当∠POB=90°时，显然过点P的切线与CD平行，
此时，α=45°．
③如图4，此时点E与点C重合．同①可得：α=56.3°．
结合以上临界位置可得：
当点F在线段CD上时，0°＜α≤33.7°或56.3°≤α＜90°；

当点F在线段CD的延长线上时，33.7°＜α＜45°；
当点F在线段DC的延长线上时，45°＜α＜56.3°．

（4）存在△ABP与△CEF相似的情况．
①当点E在BC上时，如图5所示，
若△ABP与△CEF相似，则必有∠ABP=∠CEF．
∵EF与半圆O相切，
∴∠OPE=90°．
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°．
∴∠OPE=∠ABC=90°

∵OP=OB，
∴∠OPB=∠OBP．
∴∠EPB=∠EBP．
∴∠CEF=2∠EBP．
∴∠ABP=2∠EBP．
∵∠ABP+∠EBP=90°，
∴∠ABP=60°．
∴∠AOP=2∠ABP=120°．
∴n=120°．
此时，∠PAB=∠EPB=∠EBP=30°．
过点E作EH⊥BP，垂足为H．
∵EP=EB，EH⊥BP
∴PH=BH=

PB=

×2=1．
∴cos∠HBE=

．
∴BE=

．
∴CE=3-

．
∵∠CEF=∠ABP=60°，
∴∠CFE=30°，
∴EF=2CE=6-

．
②当点E在BC的延长线上时，如图6所示，

若△ABP与△CEF相似，则必有∠ABP=∠EFC．
∴∠E=90°-∠EFC=90°-∠ABP=∠EBP．
∵EB=EP，
∴∠EPB=∠EBP．
∴∠EPB=∠EBP=∠E．
∴△EPB是等边三角形．
∴∠EPB=∠EBP=60°．
∴∠OPB=∠OBP=30°．
∴∠AOP=60°．
∴n=60°．
∵AB=4，∠PBA=30°，
∴AP=2，PB=2

．
∴EB=PB=2

．
∴EC=2

-3．
∵∠EFC=90°-60°=30°，
∴EF=2EC=4

-6．
综上所述：△ABP与△CEF相似时，n=60°，EF=4

-6或n=120°，EF=6-

．

点评：本题考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、相似三角形的性质、圆周角定理、切线长定理、锐角三角函数的定义、30°角所对的直角边等于斜边的一半等知识，考查了用临界值法求α的范围，综合性比较强

练习册系列答案

学期总复习复习总动员寒假长江出版社系列答案

年级	高中课程	年级	初中课程
高一	高一免费课程推荐！	初一	初一免费课程推荐！
高二	高二免费课程推荐！	初二	初二免费课程推荐！
高三	高三免费课程推荐！	初三	初三免费课程推荐！
更多初中、高中辅导课程推荐,点击进入>>

相关习题

科目：初中数学 来源： 题型：

如图，在∠1，∠2，∠3，∠4中，是内错角的是（　　）

A、∠1和∠2

B、∠3和∠4

C、∠2和∠3

D、∠1和∠4

查看答案和解析>>

科目：初中数学 来源： 题型：

计算：-1²+（π-3.14）⁰-（-

）^-2+（-2）³．

查看答案和解析>>

科目：初中数学 来源： 题型：

某校八年级一班进行为期5天的图案设计比赛，作品上交时限为周一至周五，班委会将参赛逐天进行统计，并绘制成如图所示的频数直方图．已知从左到右各矩形的高度比为2：3：4：6：5．且已知周三组的频数是8．
（1）本次比赛共收到

件作品．
（2）若将各组所占百分比绘制成扇形统计图，那么第五组对应的扇形的圆心角是

度．
（3）本次活动共评出1个一等奖和2个二等奖，若将这三件作品进行编号并制作成背面完全相同的卡片，并随机抽出两张，请你求出抽到的作品恰好一个一等奖，一个二等奖的概率．

查看答案和解析>>

科目：初中数学 来源： 题型：

为了了解某居民区10000户家庭丢弃废旧塑料袋的情况，某环保组织在今年6月5日（世界环境日）这一天随机抽样调查了该小区50户家庭丢弃塑料袋的情况，制成如下统计表和条形统计图（如图）（均不完整）．

每户丢弃废旧塑料袋（个）	频数（户）	频率
3	5	0.1
4	20	0.4
5
6	10	0.2
合计	50	1

（1）将统计表和条形统计图补充完整；
（2）求抽样的50户家庭这天丢弃废旧塑料袋的平均个数；
（3）根据抽样数据，估计该居民区10000户家庭这天丢弃的废旧塑料的个数．

查看答案和解析>>

科目：初中数学 来源： 题型：

已知y与x+2成正比例，且x=1时，y=-6．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）设点（a，-2）在（1）中函数的图象上，求a的值．

查看答案和解析>>

科目：初中数学 来源： 题型：

如图（1），直线y=-x+3与x轴、y轴分别交于点B、点C，经过B、C两点的抛物线y=x²+bx+c与x轴的另一个交点为A，顶点为P．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）当0＜x＜3时，在抛物线上求一点E，使△CBE的面积有最大值；
（3）连接AC，在x轴上是否存在点Q，使以P、B、Q为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由；
（4）在该抛物线的对称轴上是否存在点M，使以C、P、M为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．（图（2）、图（3）供画图探究）

查看答案和解析>>

科目：初中数学 来源： 题型：

国家实施高效节能电器的财政补贴政策，某款空调在政策实施后．每购买一台，客户每购买一台可获得补贴500元．若同样用11万元所购买此款空调，补贴后可购买的台数比补贴前前多20%，则该款空调补贴前的售价为每台多少元？

查看答案和解析>>

科目：初中数学 来源： 题型：

已知点A在数轴上表示的数为10，点B与点A相距5个单位长度，点C为负半轴上任意一点，且A以每秒2个单位长度的速度向左运动，点C以每秒3个单位每秒的速度向右运动．
（1）求点B表示的数；
（2）若点A与点C同时出发且在原点相遇，求C表示的数；
（3）在（2）的条件下，点A与点C同时出发，多少秒后点A恰好运动到BC的中点处．

查看答案和解析>>

同步练习册答案

练习册

高中

初中

小学