Question

平面直角坐标系中，□ABOC如图放置，点A、C的坐标分别为(0，3)、(－1，0)，将此平行四边形绕点O顺时针旋转90°，得到□．

(1)若抛物线过点，求此抛物线的解析式；

(2)求□ABOC和□重叠部分的周长；

(3)点M是第一象限内抛物线上的一动点，问：点M在何处时△的面积最大？最大面积是多少？并求出此时点M的坐标．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)∵由旋转得到，且点A的坐标为， 　　∴点的坐标为．1分 　　所以抛物线过点．设抛物线的解析式为，可得解得；4分 　　∴过点的抛物线的解析式为；5分 　　(2)因为，所以． 　　所以． 　　又， 　　，∴△∽△． 　　又；7分 　　∴． 　　又△的周长为， 　　所以△的周长为9分 　　(3)设直线的解析式为， 　　∵点的坐标分别为， 　　∴解得∴；0分 　　将直线向右平移，当直线与抛物线只有一个 　　交点M时与y轴交于点P，此时最大， 　　设平移后的直线的解析式为：， 　　则有：得， 　　令，得． 　　∴．解得 　　∴点坐标为，点P的坐标为；12分 　　因为MP∥，所以△与△同底等高，它们面积相等． 　　故． 　　所以当点M的坐标为时，△的面积有最大值， 　　且最大值为14分