分析 根据辅助线的性质得到∠ABD=∠CBD=45°,四边形MNPQ和AEFG均为正方形,推出△BEF与△BMN是等腰直角三角形,于是得到FE=BE=AE=$\frac{1}{2}$AB,BM=MN=QM,同理DQ=MQ,即可得到结论.
解答 解:在正方形ABCD中,
∵∠ABD=∠CBD=45°,
∵四边形MNPQ和AEFG均为正方形,
∴∠BEF=∠AEF=90°,∠BMN=∠QMN=90°,
∴△BEF与△BMN是等腰直角三角形,
∴FE=BE=AE=$\frac{1}{2}$AB,BM=MN=QM,
同理DQ=MQ,
∴MN=$\frac{1}{3}$BD=$\frac{\sqrt{2}}{3}$AB,
∴$\frac{{S}_{正方形MNPQ}}{{S}_{正方形AEFG}}$=$\frac{(\frac{\sqrt{2}}{3}AB)^{2}}{(\frac{1}{2}AB)^{2}}$=$\frac{8}{9}$,
故答案为:$\frac{8}{9}$.
点评 本题考查了正方形的性质,等腰直角三角形的性质,正方形的面积的计算,熟练掌握等腰直角三角形的性质是解题的关键.
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