Question

如图（1），△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，AD⊥MN于点D，BE⊥MN于点E．
（1）请说明：△ADC≌△CEB．
（2）请你探索线段DE，AD，EB间的等量关系，并说明理由；
（3）当直线MN绕点C旋转到图（2）的位置时，其它条件不变，线段DE，AD，EB又有怎样的等量关系？（不必说理由）．

Answer 1

解：（1）理由：因为∠ACD+∠ACB+∠BCE=180°，∠ACB=90°，
所以∠ACD+∠BCE=90°．
又AD⊥MN，BE⊥MN，则∠ADC=∠CEB=90°，∠DAC+∠ACD=90°．
故∠DAC=∠ECB
而AC=CB．所以△ADC≌△CEB（AAS）．

（2）等量关系：DE=AD+EB．
理由：由（1）知△ADC≌△CEB．则AD=CE，DC=EB．
因为DE=CE+DC，所以DE=AD+EB．

（3）等量关系：DE=AD-EB．
分析：（1）由全等直角三角形的判定定理AAS来证明△ADC≌△CEB；
（2）利用（1）的△ADC≌△CEB的对应边相等求得AD=CE，DC=EB；而DE=CE+DC，所以DE=AD+EB；
（3）利用（2）的解答思路可以直接回答DE=AD-EB．
点评：本题考查了等腰直角三角形、全等三角形的判定与性质．判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等（直角三角形除外），判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．