Question

如图，AB是⊙O的直径，CD切⊙O于C点．AD交⊙O于点E．探索AC满足什么条件时，有AD⊥CD，并加以证明．

Answer 1

分析：当AD⊥CD时，∠ACD+∠DAC=90°．根据弦切角定理，∠ACD=∠B，而∠B+∠BAC=90°，因此可得出∠BAC=∠CAD，因此AC需要满足的条件是AC是∠BAD的平分线．

解答：当AC是∠BAD的平分线时，AD⊥CD，理由为：
证明：连接BC，
∵AB为圆O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠B+∠BAC=90°，
∵CD是圆O的切线，
∴∠ACD=∠B，
∵AC平分∠BAD，
∴∠BAC=∠CAD，
∴∠CAD+∠ACD=90°，
则∠D=90°，即AD⊥CD．

点评：本题考查了切线的性质，圆周角定理，以及弦切角，熟练掌握切线的性质是解本题的关键．