Question

18．如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，∠ABC的平分线与AC相交于点D，与⊙O过点A的切线相交于点E，连接OE交AC于F．
（1）求证：AE=AD；
（2）若AB=8，AD=6，求AF的长．

Answer 1

分析 （1）根据切线的性质得∠BAE=90°，则∠AEB+∠ABE=90°，再根据圆周角定理，由AB为⊙O的直径得到∠C=90°，则∠CBD+∠CDB=90°，由于∠CBD=∠ABE，所以∠AEB=∠CBD，加上∠CBD=∠ADE，所以∠AED=∠ADE，于是根据等腰三角形的判定即可得到AE=AD；
（2）作OG⊥AB交AC于G，如图，由于AE=AD=6，AB=8，则EB=10，再证明△CDB∽△AEB，利用相似比得$\frac{BC}{CD}$=$\frac{4}{3}$，则可设CB=4x，CD=3x，所以BD=5x，CA=CD+DA=3x+6，接着在Rt△ACB中利用勾股定理得到（3x+6）²+（4x）²=8²，解得x₁=-2（舍去），x₂=$\frac{14}{25}$，即BC=$\frac{56}{25}$，AC=$\frac{192}{25}$，然后证明Rt△AOG∽Rt△ACB，利用相似比可计算出OG=$\frac{7}{6}$，AG=$\frac{25}{6}$，最后根据平行线分线段成比例定理，由OG∥AE得$\frac{AF}{FG}$=$\frac{AE}{OG}$=$\frac{36}{7}$，则利用比例性质得$\frac{AF}{AG}$=$\frac{36}{43}$，所以AF=$\frac{150}{43}$．

解答 （1）证明：∵AE为⊙O的切线，
∴AE⊥AB，
∴∠BAE=90°，
∴∠AEB+∠ABE=90°，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠C=90°，
∴∠CBD+∠CDB=90°，
而BE平分∠ABC，
∴∠CBD=∠ABE，
∴∠AEB=∠CBD，
∵∠CBD=∠ADE，
∴∠AED=∠ADE，
∴AE=AD；
（2）解：作OG⊥AB交AC于G，如图，
∵AE=AD，AD=6，
∴AE=AD=6，
∵AB=8，
在Rt△AEB中，EB=$\sqrt{{6}^{2}+{8}^{2}}$=10，
∵∠CDB=∠ADE=∠AEB，∠CBD=∠ABE，
∴△CDB∽△AEB，
∴$\frac{BC}{AB}$=$\frac{CD}{AE}$，
∴$\frac{BC}{CD}$=$\frac{8}{6}$=$\frac{4}{3}$，
设CB=4x，CD=3x，则BD=5x，
∴CA=CD+DA=3x+6，
在Rt△ACB中，∵AC²+BC²=AB²，
∴（3x+6）²+（4x）²=8²，解得x₁=-2（舍去），x₂=$\frac{14}{25}$，
∴BC=$\frac{56}{25}$，AC=$\frac{192}{25}$，
∵∠OAG=∠CAB，
∴Rt△AOG∽Rt△ACB，
∴$\frac{OG}{BC}$=$\frac{AG}{AB}$=$\frac{AO}{AC}$，即$\frac{OG}{\frac{56}{25}}$=$\frac{AG}{8}$=$\frac{4}{\frac{192}{25}}$，解得OG=$\frac{7}{6}$，AG=$\frac{25}{6}$，
∵OG∥AE，
∴$\frac{AF}{FG}$=$\frac{AE}{OG}$=$\frac{6}{\frac{7}{6}}$=$\frac{36}{7}$，
∴$\frac{AF}{AG}$=$\frac{36}{43}$，
∴AF=$\frac{36}{43}$×$\frac{25}{6}$=$\frac{150}{43}$．

点评 本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．也考查了相似三角形的判定与性质．