Question

星期天，小明在解答下列题目时卡壳了．
题目1：如图①，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，O为△ABC内的一点，OC=1，OA=，OB=．求∠AOC的度数．
小明去请教小颖正在解答下列题目．
题目2：如图②，点O是等边三角形ABC内的一点，将△BCO绕C顺时针方向旋转60°得到△ADC，连接OD．
（1）试判断△COD的形状，并说明理由；
（2）当∠COB=150°时，试判断△AOD的形状，并写出OA、OB、OC三者之间的等量关系式．
小颖说：“等等，等我做完了，我们一起来看．”小明看完，小颖做完后高兴地说：“哈哈，太好了，我会了．”聪明的同学，你能先解答完题目2，再根据解答所得到的启迪来完成题目1吗？写出你的解答过程．

Answer 1

解：（1）证明：∵CO=CD，∠OCD=60°，
∴△COD是等边三角形；
（2）解：当∠BOC=150°时，△AOD是直角三角形．
∵△BCO绕C顺时针方向旋转60°得到△ADC，
∴△BOC≌△ADC，
∴∠ADC=∠BOC=150°，OB=AD，
又∵△COD是等边三角形，
∴∠ODC=60°，OC=OD
∴∠ADO=90°，
即△AOD是直角三角形；
∴OA²=OD²+AD²，
∴OA²=OC²+AO²；
解题目1：
解：将△BCO绕C顺时针方向旋转90°得到△ADC，连接OD，如图，
∴△BOC≌△ADC，
∴OC=CD=1，OB=AD=，
∵∠OCD=90°且OC=CD=1，
∴∠COD=45°，OD=．
又∵OA=，
∴AD²=OA²+OD²
∴∠AOD=90°
∴∠AOC=∠COD+∠AOD=135°．
分析：题目2：（1）根据有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形直接进行判定即可；
（2）根据旋转的性质，得到△BOC≌△ADC，从而求出∠ADC的度数，OB=AD，再根据等边三角形的性质得∠ODC=60°，OC=OD，即∠ADO=90°，即可以判断△AOD的形状，及OA、OB、OC三者之间的等量关系式．
题目1：根据题目2的方法，将△BCO绕C顺时针方向旋转90°得到△ADC，连接OD，可得到△BOC≌△ADC，即∠OC=CD=1，OB=AD=，再利用等腰直角三角形的性质得出∠COD的度数；
最后利用勾股定理的逆定理证明△AOD是直角三角形，易得∠AOC的度数．
点评：本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质等知识．注意此题有一定的开放性，要找到变化中的不变量才能有效解决问题．