Question

15．已知ABCD为平行四边形，求证：2（AB²+AD²）=AC²+BD²．

Answer 1

分析 作AE⊥BC于点E，DF⊥BC交BC的延长线于F，易证△ABE≌△DCF（AAS），由此可得AE=DF，BE=CF，在在Rt△ACE和Rt△BDF中，由勾股定理即可证明2（AB²+AD²）=AC²+BD²．

解答 证明：作AE⊥BC于点E，DF⊥BC交BC的延长线于F，
则∠AEB=∠DFC=90°．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=DC，AB∥CD，
∴∠ABE=∠DCF，
在△ABE和△DCF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AEB=∠DFC}\\{∠ABE=∠DCF}\\{AB=DC}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△DCF（AAS），
∴AE=DF，BE=CF．
在Rt△ACE和Rt△BDF中，由勾股定理，得
AC²=AE²+EC²=AE²+（BC-BE）²，
BD²=DF²+BF²=DF²+（BC+CF）²=AE²+（BC+BE）²，
∴AC²+BD²=2AE²+2BC²+2BE²=2（AE²+BE²）+2BC²．
又∵AE²+BE²=AB²，
∴AC²+BD²=2（AB²+BC²）．

点评 本题考查了平行四边形的性质、勾股定理的运用、全等三角形的判定和性质，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．