Question

已知：⊙O₁与⊙O₂外切于点P，过点P的直线分别交⊙O₁、⊙O₂于点B、A，⊙O₁的切线BN交⊙O₂于点M、N，AC为⊙O₂的弦．
（1）如图（1），设弦AC交BN于点D，求证：AP•AB=AC•AD；
（2）如图（2），当弦AC绕点A旋转，弦AC的延长线交直线BN于点D时，试问：AP•AB=AC•AD是否仍然成立？证明你的结论．

Answer 1

解：（1）过点P作两圆的切线EF，连接CP并延长交⊙O₁于点G，连接BG．
∴∠1=∠C，∠2=∠G．
∵⊙O₁的切线BN交⊙O₂于点M、N，
∴∠3=∠G．
又∠1=∠2，
∴∠C=∠3．
又∠CAP=∠BAD，
∴△APC∽△ADB．
∴，
即AP•AB=AC•AD．

（2）过点P作两圆的切线EF，连接NP并延长交⊙O₁于点G，连接BG．连接CP，
则∠APF=∠BPE=∠PBN=∠D+∠A，∠CPF=∠A，
则∠APC=∠D．
又∠PAC=∠DAB，
∴△APC∽△ADB．
∴，
即AP•AB=AC•AD．
分析：（1）过点P作两圆的切线EF，连接CP并延长交⊙O₁于点G，连接BG．根据弦切角定理可以证明∠C=∠B，从而证明△APC∽△ADB，再根据相似三角形的性质即可证明；
（2）过点P作两圆的切线EF，连接NP并延长交⊙O₁于点G，连接BG．根据弦切角定理和三角形的外角的性质证明∠APC=∠D，从而根据两角对应相等得到△APC∽△ADB，再根据相似三角形的性质即可证明．
点评：作两圆的公切线是相切两圆中常见的辅助线之一．熟练运用弦切角定理、相似三角形的判定和性质．